2013-湖北卷文-02 单-双曲线焦距

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 已知 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$，则双曲线 $C_1$：$\frac{x^2}{{\sin }^2\theta }-\frac{y^2}{{\cos }^2\theta }=1$ 与 $C_2$：$\frac{y^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{x^2}{{\sin }^2\theta }=1$ 的()

A. 实轴长相等　　B. 虚轴长相等　　C. 离心率相等　　D. 焦距相等

🔍【思路分析】

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1. $C_1$：$a_1^2={\sin }^2\theta$，$b_1^2={\cos }^2\theta$ → $c_1^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。
2. $C_2$：$a_2^2={\cos }^2\theta$，$b_2^2={\sin }^2\theta$ → $c_2^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$。
3. 焦距都是 $2c=2$；实轴、虚轴、离心率都随 $\theta$ 变化而不等。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

$C_1$ 的焦点在 $x$ 轴上：$a_1^2={\sin }^2\theta$，$b_1^2={\cos }^2\theta$，故 $c_1^2=a_1^2+b_1^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,焦距=2c_1=2.$ $C_2$ 的焦点在 $y$ 轴上：$a_2^2={\cos }^2\theta$，$b_2^2={\sin }^2\theta$，故 $c_2^2=a_2^2+b_2^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1,焦距=2c_2=2.$ 由 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ 知 $\sin \theta \ne \cos \theta$，故实轴长、虚轴长、离心率都对应不等。 所以两双曲线的焦距相等。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的几何性质（焦距）

核心方法：$C_1$：$c^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$；$C_2$：$c^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ → 焦距都是 $2c=2$

避坑指南：两曲线的 $c^2$ 都是 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$——$C_2$ 焦点在 $y$ 轴，$c^2=$ 分母中正项之和，别把 $c^2=1$ 只算给 $C_1$；实轴、虚轴、离心率都随 $\theta$ 变，只有焦距不变。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的标准方程与几何性质（$c^2=a^2+b^2$ 的不变量视角，湖北卷选择题）。

结论推广：$c^2=a^2+b^2$ 与焦点位置无关；同角平方关系。

方法推广：分别读出两曲线的 $a^2,b^2$ → 求 $c^2$ → 比较各量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程