2013-湖北卷理-08 单-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原直观图。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为 $V_1,V_2,V_3,V_4$.前两个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()

A. $V_1<V_2<V_4<V_3$　　　　　　　　　　B. $V_1<V_3<V_2<V_4$

C. $V_2<V_1<V_3<V_4$　　　　　　　　　　D. $V_2<V_3<V_1<V_4$

🔍【思路分析】

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1. 识别几何体：
   • 根据三视图及题干描述，最上方两部分在俯视图中表现为圆，且正/侧视图为梯形和长方形，故分别为圆台 ($V_1$) 和圆柱 ($V_2$)。
   • 下方两部分在俯视图中表现为正方形，故分别为正方体 ($V_3$) 和正四棱台 ($V_4$)。
2. 提取尺寸数据：从正视图标注中获取各几何体的高度、底面半径或边长。
3. 应用体积公式：
   • $V_{台}=\frac{1}{3}h(S_{上}+\sqrt{S_{上}{S}_{下}}+S_{下})$
   • $V_{柱}=S\cdot h$
4. 数值比对：统一使用 $\pi$ 进行估算（$\pi \approx 3.14$），比较四个数值的大小。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体并计算体积

• $V_1$（圆台）：上底半径 $R=2$，下底半径 $r=1$，高 $h=1$。 $V_1=\frac{1}{3}\pi \times 1\times (2^2+2\times 1+1^2)=\frac{7}{3}\pi \approx 7.33$
• $V_2$（圆柱）：底面半径 $r=1$，高 $h=2$。 $V_2=\pi \times 1^2\times 2=2\pi \approx 6.28$
• $V_3$（正方体）：底面边长 $a=2$，高 $h=2$。 $V_3=2\times 2\times 2=8$
• $V_4$（正四棱台）：上底边长 $a=2$，下底边长 $b=4$（由俯视图最外圈正方形及正视图底部宽度知），高 $h=1$。 $V_4=\frac{1}{3}\times 1\times (2^2+2\times 4+4^2)=\frac{1}{3}\times (4+8+16)=\frac{28}{3}\approx 9.33$

第二步：大小比较 比较上述计算结果： $6.28(V_2)<7.33(V_1)<8(V_3)<9.33(V_4)$ 即 $V_2<V_1<V_3<V_4$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：准确识别实线与虚线在三视图中的含义，还原组合体。 2. 核心公式：圆台体积公式与棱台体积公式的统一性（底面积与半径平方的关系）。

核心方法：见详细解析

避坑指南：- 俯视图中的虚线圆对应的是圆台的下底面或圆柱的底面。 - 注意 $V_1$ 是圆台，而 $V_4$ 是棱台，计算时不要漏掉公式中的 $\pi$ 或系数 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：准确识别实线与虚线在三视图中的含义，还原组合体。 2. 核心公式：圆台体积公式与棱台体积公式的统一性（底面积与半径平方的关系）。

结论推广：柱、锥、台体体积公式的统一形式为 $V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$。当 $S_1=S_2$ 时退化为柱体，当 $S_1=0$ 时退化为锥体。

方法推广：在不需要精确计算时，可利用“外接/内含”关系估算体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图