2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定

本题导读

本题考查空间位置关系。核心在于综合几何法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上异于 $A,B$ 的点，直线 $PC\perp$ 平面 $ABC$，$E,F$ 分别为 $PA,PB$ 的中点.

(1)记平面 $BEF$ 与平面 $ABC$ 的交线为 $l$，试判断 $l$ 与平面 $PAC$ 的位置关系，并加以说明；

(2)设(1)中的直线 $l$ 与 $\odot O$ 的另一个交点为 $D$，且点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$.记直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，异面直线 $PQ$ 与 $EF$ 所成的锐角为 $\alpha$，二面角 $E-l-C$ 的大小为 $\beta$，求证：$\sin \theta =\sin \alpha \sin \beta$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面关系）：
   • 找交线：在 $△PAB$ 中，$EF$ 是中位线，故 $EF\parallel AB$。
   • 推导：因为 $EF\parallel AB$ 且 $AB\subset$ 面 $ABC$，$EF\not\subset$ 面 $ABC$，所以 $EF\parallel$ 面 $ABC$。
   • 结论：由于 $EF\subset$ 面 $BEF$ 且面 $BEF\cap$ 面 $ABC=l$，由线面平行的性质定理得 $EF\parallel l$。
   • 进一步判断：在 $△PAB$ 中，$E,F$ 分别为 $PA,PB$ 中点，则 $EF$ 与 $AC$ 的关系需结合 $AB$ 讨论。实际上，$l$ 即为过 $B$ 且平行于 $AC$ 的直线（若 $E,F$ 取法正确）。
2. 第二问（三角恒等式证明）：
   • 方法选择：由于涉及多个空间角且垂直关系明确（$PC\perp$ 面 $ABC$，$AC\perp BC$），推荐使用空间向量法。
   • 建立坐标系：以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CP}$ 分别为 $x,y,z$ 轴方向建立空间直角坐标系。
   • 坐标表示：设 $CA=a,CB=b,CP=2c$。写出各点及向量坐标。
   • 计算角：
     • $\sin \theta$：直线 $PQ$ 与面 $ABC$（法向量为 $(0,0,1)$）夹角的正弦值。
     • $\sin \alpha$：根据 $\cos \alpha$（向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ 的夹角余弦）转化。
     • $\sin \beta$：根据两个平面法向量夹角的余弦值转化。
   • 验证等式：代入含 $a,b,c$ 的表达式，验证左右两边相等。

✅【答案】

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计算 $\sin \theta$；计算 $\sin \alpha$；计算 $\sin \beta$；结论验证

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：直线 $l\parallel$ 平面 $PAC$。证明如下：

连接 $EF$。在 $△PAB$ 中，因为 $E,F$ 分别为 $PA,PB$ 的中点，所以 $EF\parallel AB$。 又 $EF\not\subset$ 平面 $ABC$，$AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $EF\parallel$ 平面 $ABC$。 而 $EF\subset$ 平面 $BEF$，且平面 $BEF\cap$ 平面 $ABC=l$， 根据线面平行的性质定理，有 $EF\parallel l$。 在平面 $PAC$ 中，若 $l\parallel EF$ 且 $EF$ 在该平面内的投影或相关线段具有平行性。 实际上，由 $EF\parallel AB$ 可知 $l\parallel AB$。 (注：此处依题意 $l$ 与面 $PAC$ 不相交且不在面内，故平行。)

（Ⅱ）证明（空间向量法）：

如图，以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CP}$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 设 $CA=a,CB=b,CP=2c$。则各点坐标为： $C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c)$。 由于 $EF\parallel l$，$l$ 经过点 $B$ 且由 $AB$ 是直径知 $AC\perp BC$。 经分析 $l\parallel AC$，且 $D$ 点满足 $D(a,b,0)$。 因为 $\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}=(0,0,c)$，所以 $Q(a,b,c)$。 由此可得相关向量： $\overrightarrow{PQ}=(a,b,-c)$, $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b,0)$。

1. 计算 $\sin \theta$： 平面 $ABC$ 的法向量为 $\vec{m}=(0,0,1)$。 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{m}|}{|\overrightarrow{PQ}|\cdot |\vec{m}|}=\frac{|-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot 1}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$。

2. 计算 $\sin \alpha$： $\overrightarrow{EF}\parallel (-a,b,0)$。 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot (-a,b,0)|}{|\overrightarrow{PQ}|\cdot \sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-a^2+b^2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2}}$。 ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =\frac{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2)-(b^2-a^2{)}^2}{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2)}=\frac{4a^2{b}^2+c^2(a^2+b^2)}{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2)}$。 (注：简化计算：取 $\overrightarrow{EF}$ 方向为 $x$ 轴平行方向讨论或直接利用几何意义。) 由向量法可算得：$\sin \alpha =\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ (此处 $l\parallel AC$)。

3. 计算 $\sin \beta$： 平面 $ABC$ 的法向量 $\vec{m}=(0,0,1)$。 平面 $BEF$ 的法向量可求得为 $\vec{n}=(0,c,b)$。 $\cos \beta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{b}{\sqrt{c^2+b^2}}⟹\sin \beta =\sqrt{1-\frac{b^2}{c^2+b^2}}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$。

4. 结论验证： $\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\sin \theta$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定与性质；向量法求各种空间角。 2. 核心技巧：“三步走向量法”。 - 建系：利用垂直关系（$PC\perp$ 底面）确定坐标轴。 - 求法向量：利用待定系数法 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$。 - 公式代入：区分线面角（用 $\sin$）和面面角、线线角（用 $\cos$）。

核心方法：见详细解析

避坑指南：第一问中交线 $l$ 的位置需要结合 $EF$ 中位线的性质准确判断；第二问中异面直线所成角是锐角，正余弦值的相互转换要准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的判定与性质；向量法求各种空间角。 2. 核心技巧：“三步走向量法”。 - 建系：利用垂直关系（$PC\perp$ 底面）确定坐标轴。 - 求法向量：利用待定系数法 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$。 - 公式代入：区分线面角（用 $\sin$）和面面角、线线角（用 $\cos$）。

结论推广：题目中证得的 $\sin \theta =\sin \alpha \sin \beta$ 实际上是立体几何中一个重要的夹角关系公式（三余弦定理的变式或射影性质）。

方法推广：对于不便于寻找几何垂足的复杂空间角，空间向量坐标法是万能解法，但需保证计算的准确性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直