2013-福建卷理-16 解-相互独立事件

本题导读

本题考查概率计算。核心在于互斥事件/对立事件概率法、期望性质的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案：

• 方案甲：中奖概率为 $\frac{2}{3}$，中奖可获得 2 分；
• 方案乙：中奖概率为 $\frac{2}{5}$，中奖可获得 3 分.

未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响.

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$，求 $X\le 3$ 的概率；

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

🔍【思路分析】

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1. 第一问（概率计算）：
   • 两人方案不同，小明得分为 $\{0,2\}$，小红得分为 $\{0,3\}$。
   • 累计得分 $X$ 的所有可能取值为 $\{0,2,3,5\}$。
   • 计算 $X\le 3$ 的概率，利用对立事件 $X=5$（即两人均中奖）更简便。
2. 第二问（期望对比）：
   • 方案一：两人均选甲。单人中奖次数服从二项分布，设两人总中奖次数为 $X_1$，则 $X_1\sim B(2,\frac{2}{3})$。累计得分 $Y_1=2X_1$。
   • 方案二：两人均选乙。设总中奖次数为 $X_2$，则 $X_2\sim B(2,\frac{2}{5})$。累计得分 $Y_2=3X_2$。
   • 利用期望的线性性质 $E(aX)=aE(X)$ 及二项分布期望公式 $E(X)=np$ 分别计算并对比。

✅【答案】

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所以，$P(X\le 3)=1-P(X=5)=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$。；所以两人都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 记“小明中奖”为事件 $M$，$P(M)=\frac{2}{3}$；记“小红中奖”为事件 $N$，$P(N)=\frac{2}{5}$。 由题意，两人中奖与否相互独立。 累计得分 $X$ 可能的取值为 $0+0=0,2+0=2,0+3=3,2+3=5$。 则 $X\le 3$ 的对立事件是 $X=5$。 $P(X=5)=P(M\cdot N)=P(M)P(N)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$。 所以，$P(X\le 3)=1-P(X=5)=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$。

（Ⅱ）解： 设小明、小红两人选择方案甲中奖次数为 $X_1$，选择方案乙中奖次数为 $X_2$。 由题意：$X_1\sim B(2,\frac{2}{3})$，$X_2\sim B(2,\frac{2}{5})$。

1. 若两人都选方案甲，累计得分 $Y_1=2X_1$。 其数学期望为 $E(Y_1)=E(2X_1)=2E(X_1)$。 由二项分布期望公式得 $E(X_1)=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。 则 $E(Y_1)=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\approx 2.67$。

2. 若两人都选方案乙，累计得分 $Y_2=3X_2$。 其数学期望为 $E(Y_2)=E(3X_2)=3E(X_2)$。 由二项分布期望公式得 $E(X_2)=2\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$。 则 $E(Y_2)=3\times \frac{4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$。

因为 $\frac{8}{3}>\frac{12}{5}$（即 $2.67>2.4$）， 所以两人都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对立事件概率公式 $P(A)=1-P(\bar{A})$；期望的线性性质 $E(aX+b)=aE(X)+b$。

核心方法：“模型简化法”。在计算期望时，无需列出完整的分布列，利用单次试验期望乘以次数（或直接应用二项分布结论）能极快解题。

避坑指南：- 第一问中若直接累加 $P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)$ 也可以，但计算量稍大且易漏项。 - 第二问中注意得分倍数（2分或3分）要乘在期望公式外面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：超几何分布期望、随机变量方差。

结论推广：独立同分布随机变量之和的期望等于各随机变量期望之和，即 $E(\sum X_i)=\sum E(X_i)$。

方法推广：涉及“最优方案选择”的概率统计题，数学期望是核心衡量指标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-14 单-独立事件
• 2025-上海卷-13 单-独立事件
• 2026-上海卷-04 填-互斥事件