2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义

本题导读

本题考查抛物线。核心在于坐标法、联立方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 如图，在正方形 $OABC$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$.分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分，分点分别记为 $A_1,A_2,\dots ,A_9$ 和 $B_1,B_2,\dots ,B_9$.连接 $O{B}_i$，过 $A_i$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O{B}_i$ 交于点 $P_i$ ($i\in {\mathbb{N}}^{\ast },1\le i\le 9$).

(1)求证：点 $P_i$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；

(2)过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M,N$，若 $△OCM$ 与 $△OCN$ 的面积之比为 $4:1$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹证明与求方程）：
   • 根据分点定义，写出 $A_i$ 和 $B_i$ 的坐标。
   • 求出直线 $O{B}_i$ 的方程（过原点，斜率为 $\frac{y_{B_i}}{x_{B_i}}$）。
   • 联立直线 $x=x_{A_i}$ 与 $O{B}_i$，求出交点 $P_i$ 的坐标。
   • 消除参数 $i$，寻找 $x$ 与 $y$ 的函数关系。
2. 第二问（直线方程求解）：
   • 设定直线：直线 $l$ 过点 $C(0,10)$，设其方程为 $y=kx+10$。
   • 联立求解：将直线与抛物线方程联立，得到一元二次方程，利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。
   • 面积转化：由于 $△OCM$ 和 $△OCN$ 共用底边 $OC$（在 $y$ 轴上），它们的面积之比等于对应点横坐标绝对值的比，即 $|x_M|:|x_N|=4:1$。
   • 代数计算：根据根与系数的关系求解斜率 $k$。

✅【答案】

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所以点 $P_i$ 都在同一条抛物线上，且抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=10y$。；即 $3x-2y+20=0$ 或 $3x+2y-20=0$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 依题意，线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分，点 $A$ 为 $(10,0)$，点 $B$ 为 $(10,10)$。 分点 $A_i$ 的坐标为 $(i,0)$，分点 $B_i$ 的坐标为 $(10,i)$ ($i=1,2,\dots ,9$)。 直线 $O{B}_i$ 的斜率为 $k_{O{B}_i}=\frac{i}{10}$，所以其方程为 $y=\frac{i}{10}x$。 由于点 $P_i$ 是直线 $x=i$ 与 $O{B}_i$ 的交点，其横坐标 $x=i$，纵坐标 $y=\frac{i}{10}\cdot i=\frac{i^2}{10}$。 消去参数 $i$，得 $y=\frac{x^2}{10}$，即 $x^2=10y$。 因为当 $x=i$ 时，$y$ 始终满足上述方程， 所以点 $P_i$ 都在同一条抛物线上，且抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=10y$。

（Ⅱ）解： 由题意，直线 $l$ 经过点 $C(0,10)$。当 $l$ 的斜率不存在时，直线为 $y$ 轴，与抛物线只有一个交点，不合题意。 故设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+10$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}y=kx+10\\ x^2=10y\end{array}⟹x^2-10kx-100=0$ 判别式 $\Delta =(-10k{)}^2-4(-100)=100k^2+400>0$，直线与抛物线恒有两个不同的交点 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$。 由韦达定理： $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10k\\ x_1{x}_2=-100\end{array}$ 由于 $x_1{x}_2=-100<0$，说明 $M,N$ 分布在 $y$ 轴两侧。 $△OCM$ 与 $△OCN$ 的公共底为线段 $OC$（长度为 10）。 故 $S_{△OCM}:S_{△OCN}=\frac{1}{2}|OC|\cdot |x_1|:\frac{1}{2}|OC|\cdot |x_2|=|x_1|:|x_2|=4:1$。 则 $|x_1|=4|x_2|$，结合 $x_1{x}_2<0$，得 $x_1=-4x_2$。 代入韦达定理： $(-4x_2)+x_2=10k⟹-3x_2=10k$ $(-4x_2)\cdot x_2=-100⟹x_2^2=25⟹x_2=\pm 5$ 当 $x_2=5$ 时，$10k=-15⟹k=-\frac{3}{2}$； 当 $x_2=-5$ 时，$10k=15⟹k=\frac{3}{2}$。 直线 $l$ 的方程为 $y=\pm \frac{3}{2}x+10$。 即 $3x-2y+20=0$ 或 $3x+2y-20=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系。

核心方法：“几何问题代数化”。将面积比转化为坐标比，是解析几何中简化运算的高频手段。

避坑指南：- 确认 $x_1,x_2$ 异号，因此 $|x_1|=4|x_2|$ 展开为 $x_1=-4x_2$ 而非 $4x_2$。 - 求解直线方程时，注意检查斜率不存在的情况是否漏掉（本题中不成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线斜截式方程、一元二次方程根的分布、二次函数最值。

结论推广：线段分割法构造曲线是早期几何学中研究圆锥曲线的常用手段。

方法推广：“几何问题代数化”。将面积比转化为坐标比，是解析几何中简化运算的高频手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-11 填-抛物线准线
• 2014-安徽卷文-03 单-抛物线准线
• 2014-上海卷文-04 填-抛物线准线