2013-福建卷理-21 解-矩阵乘法与几何变换

本题导读

本题考查矩阵与变换。核心在于坐标替换法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） （选修 4-2：矩阵与变换） 已知直线 $l:ax+y=1$ 在矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ 对应的变换作用下变为直线 $l^{\prime }:x+by=1$.

(1)求实数 $a,b$ 的值；

(2)若点 $P(x_0,y_0)$ 在直线 $l$ 上，且 $A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$，求点 $P$ 的坐标. （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 $A$ 的极坐标为 $(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{4})=a$，且点 $A$ 在直线 $l$ 上.

(1)求 $a$ 的值及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数），试判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系. （选修 4-5：不等式选讲） 设不等式 $|x-2|<a$ ($a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 的解集为 $A$，且 $\frac{3}{2}\in A$，$\frac{1}{2}\notin A$.

(1)求 $a$ 的值；

(2)求函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：设直线 $l$ 上任一点 $M(x,y)$，通过矩阵 $A$ 得到其像点 $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 的坐标关系，代入 $l^{\prime }$ 方程，对比系数。

2. 第二问：利用矩阵特征向量或固定点概念，解线性方程组求出 $x_0,y_0$ 的关系，再代入直线 $l$ 方程。

3. 第一问：将点 $A$ 代入极坐标方程求 $a$，再利用 $\rho \cos (\theta -\varphi )=\rho \cos \theta \cos \varphi +\rho \sin \theta \sin \varphi$ 展开进行互化。

4. 第二问：将圆的参数方程化为标准方程，计算圆心到直线的距离 $d$，与半径 $r$ 比较。

5. 第一问：根据元素与集合的关系列出关于 $a$ 的不等式组，结合 $a$ 是正整数得出结论。

6. 第二问：利用绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a-b|$ 直接求解。

✅【答案】

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（选修 4-2：矩阵与变换）则 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ；故点 P$的坐标为$(1, 0)$。；（选修4-4：坐标系与参数方程）即$\frac{\sqrt{2}}{2} \rho \cos \theta + \frac{\sqrt{2}}{2} \rho \sin \theta = \sqrt{2} \implies \rho \cos \th；所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交。；（选修 4-5：不等式选讲）矩阵乘法坐标公式；极坐标转化公式；绝对值的几何意义

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设 $M(x,y)$ 是直线 $l$ 上任意一点，经矩阵 $A$ 变换后的点为 $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。 则 $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y\\ y\end{array}\right)$，即 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+2y\\ y^{\prime }=y\end{array}$。 反解得 $x=x^{\prime }-2y^{\prime }$，$y=y^{\prime }$。代入直线 $l:ax+y=1$ 得： $a(x^{\prime }-2y^{\prime })+y^{\prime }=1⟹a{x}^{\prime }+(1-2a)y^{\prime }=1$。 对比直线 $l^{\prime }:x+by=1$ 的系数得： $\{\begin{array}{l}a=1\\ 1-2a=b\end{array}$，解得 $a=1,b=-1$。

（Ⅱ）解： 由 $A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0+2y_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$，得 $x_0+2y_0=x_0⟹y_0=0$。 因为点 $P$ 在直线 $l:x+y=1$ 上，将 $y_0=0$ 代入得 $x_0=1$。 故点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$。

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(2) 选修 4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）解： 将点 $A(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ 代入直线 $l$ 的方程得：$a=\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\cos 0=\sqrt{2}$。 直线 $l$ 的方程为 $\rho (\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$。 即 $\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \sin \theta =\sqrt{2}⟹\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =2$。 转化为直角坐标方程为：$x+y-2=0$。

（Ⅱ）解： 圆 $C$ 的普通方程为 $(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心为 $C(1,0)$，半径 $r=1$。 圆心 $C$ 到直线 $l:x+y-2=0$ 的距离 $d=\frac{|1+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，即 $d<r$。 所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交。

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(3) 选修 4-5：不等式选讲

（Ⅰ）解： 由 $\frac{3}{2}\in A$ 得 $|\frac{3}{2}-2|<a⟹\frac{1}{2}<a$。 由 $\frac{1}{2}\notin A$ 得 $|\frac{1}{2}-2|\ge a⟹\frac{3}{2}\ge a$。 综上 $\frac{1}{2}<a\le \frac{3}{2}$。由于 $a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，故 $a=1$。

（Ⅱ）解： 当 $a=1$ 时，$f(x)=|x+1|+|x-2|$。 根据绝对值三角不等式： $f(x)=|x+1|+|2-x|\ge |(x+1)+(2-x)|=3$。 （或者理解为数轴上点 $x$ 到 $-1$ 和 $2$ 的距离之和，当 $-1\le x\le 2$ 时取到最小值）。 故 $f(x)$ 的最小值为 $3$。

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💡 【总结】 选考题通常得分率较高，复习时应熟练掌握矩阵乘法坐标公式、极坐标转化公式以及绝对值的几何意义。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)