2013-辽宁卷理-22 解-弦切角定理

本题导读

本题考查几何证明选讲。核心在于综合法证明、几何性质转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） （选修 4-1）如图，$AB$ 为 $\odot O$ 直径，直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于 $E$，$AD$ 垂直于 $CD$ 于 $D$，$BC$ 垂直于 $CD$ 于 $C$，$EF$ 垂直于 $AB$ 于 $F$.连接 $AE,BE$.证明：

（I）$\angle FEB=\angle CEB$；

（II）$E{F}^2=AD\cdot BC$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（角度相等）：
   • 利用弦切角定理，$\angle CEB=\angle EAB$。
   • 在 $Rt△AEB$ 中，$AE\perp EB$，故 $\angle EAB+\angle EBA=90^{\circ }$。
   • 在 $Rt△EFB$ 中，$\angle FEB+\angle EBA=90^{\circ }$。
   • 通过等角的余角相等实现转化。
2. 第二问（等积式证明）：
   • 证明 $Rt△BCE\cong Rt△BFE$，得出 $BC=BF$。
   • 同理证明 $Rt△ADE\cong Rt△AFE$，得出 $AD=AF$。
   • 利用射影定理 $E{F}^2=AF\cdot BF$（或由 $△AFE\sim △EFB$ 得出）代换求解。

✅【答案】

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所以 $Rt△BCE\cong Rt△BFE$ (AAS)，从而 $BC=BF$

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明： 因为直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于 $E$，由弦切角定理得 $\angle CEB=\angle EAB$。 因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle AEB=90^{\circ }$，即 $AE\perp EB$。 在 $Rt△AEB$ 中，$\angle EAB+\angle EBF=90^{\circ }$。 又因为 $EF\perp AB$，在 $Rt△EFB$ 中，$\angle FEB+\angle EBF=90^{\circ }$。 所以 $\angle FEB=\angle EAB$。 故 $\angle FEB=\angle CEB$。

（II）证明： 在 $Rt△BCE$ 和 $Rt△BFE$ 中， $\angle CEB=\angle FEB$，$BE$ 为公共斜边， 所以 $Rt△BCE\cong Rt△BFE$ (AAS)，从而 $BC=BF$。 同理，连接 $OE$ 可得（或通过类似角度转化）：$Rt△ADE\cong Rt△AFE$，从而 $AD=AF$。 在 $Rt△AEB$ 中，$EF\perp AB$ 于 $F$，由射影定理得： $E{F}^2=AF\cdot BF$ 代入等量关系得： $E{F}^2=AD\cdot BC$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线性质、弦切角定理、直角三角形相似与射影定理。

核心方法：通过全等三角形将“外部”的线段 $AD,BC$ 转移到“内部”直径上的线段 $AF,BF$，再利用射影定理建立联系。

避坑指南：射影定理的使用前提是直角三角形斜边上的高，必须明确指出 $\angle AEB=90^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线性质、弦切角定理、直角三角形相似与射影定理。

结论推广：见详细解析。

方法推广：通过全等三角形将“外部”的线段 $AD,BC$ 转移到“内部”直径上的线段 $AF,BF$，再利用射影定理建立联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦