2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及对数的运算。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+b\sin x+4$（$a,b\in \mathbf{R}$），$f(\lg ({\log }_{2}10))=5$，则 $f(\lg (\lg 2))=$()

A. $-5$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\lg ({\log }_{2}10)+\lg (\lg 2)=\lg ({\log }_{2}10\cdot \lg 2)=\lg 1=0$ → 两自变量互为相反数。
2. $g(x)=f(x)-4=a{x}^3+b\sin x$ 是奇函数；$f(t)=5\Rightarrow g(t)=1$。
3. $g(-t)=-1\Rightarrow f(-t)=3$ → C。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

记 $t=\lg ({\log }_{2}10)$。由 ${\log }_{2}10=\frac{1}{\lg 2},$ 得 $\lg ({\log }_{2}10)+\lg (\lg 2)=\lg \left({\log }_{2}10\cdot \lg 2\right)=\lg 1=0,$ 所以 $\lg (\lg 2)=-t$，两自变量互为相反数。 令 $g(x)=f(x)-4=a{x}^3+b\sin x,$ 则 $g(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数。 由 $f(t)=5$ 得 $g(t)=f(t)-4=1$，于是 $g(-t)=-g(t)=-1,$ 故 $f(-t)=g(-t)+4=-1+4=3.$ 即 $f(\lg (\lg 2))=3$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用奇函数求函数值

核心方法：$\lg ({\log }_{2}10)+\lg (\lg 2)=\lg ({\log }_{2}10\cdot \lg 2)=\lg 1=0$，两自变量互为相反数。令 $g(x)=f(x)-4=a{x}^3+b\sin x$（奇函数），$f(t)=5\Rightarrow g(t)=1\Rightarrow g(-t)=-1\Rightarrow f(-t)=3$

避坑指南：把常数项 $4$ 剥掉再谈奇偶：$f$ 本身不奇不偶，$g(x)=f(x)-4$ 才是奇函数；本题的两个自变量看起来毫无关系，关键在 ${\log }_{2}10\cdot \lg 2=1$ 这一步”乘积为 $1$ → 对数和为 $0$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数奇偶性与函数求值。

结论推广：对数运算性质；构造奇函数；$g(-x)=-g(x)$。

方法推广：验证两自变量互为相反数 → 剥离常数构造奇函数 → 由 $g(t)$ 反推 $f(-t)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值
• 2013-湖南卷文-04 单-奇偶性求值
• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值