2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于边角互化、整体代换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a^2=b^2+c^2+\sqrt{3}bc$.

(1)求 $A$；

(2)设 $a=\sqrt{3}$，$S$ 为 $△ABC$ 的面积，求 $S+3\cos B\cos C$ 的最大值，并指出此时 $B$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1)$ $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-\sqrt{3}bc}{2bc}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $A=\frac{5\pi }{6}$。
2. $(2)$ $\frac{a}{\sin A}=2\sqrt{3}$ → $b=2\sqrt{3}\sin B$，$c=2\sqrt{3}\sin C$；$S=\frac{1}{2}bc\sin A=3\sin B\sin C$。
3. $S+3\cos B\cos C=3\cos (B-C)$；$B+C=\frac{\pi }{6}$ → $B=C=\frac{\pi }{12}$ 时取最大值 $3$。

✅【答案】

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(1)$\frac{5\pi }{6}$；(2)最大值为 $3$，此时 $B=\frac{\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$ 把 $a^2=b^2+c^2+\sqrt{3}bc$ 代入： $\cos A=\frac{b^2+c^2-(b^2+c^2+\sqrt{3}bc)}{2bc}=\frac{-\sqrt{3}bc}{2bc}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{5\pi }{6}.$ （2） 由 $A=\frac{5\pi }{6}$ 得 $\sin A=\frac{1}{2}$。由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3},$ 故 $b=2\sqrt{3}\sin B,c=2\sqrt{3}\sin C.$ 于是 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times (2\sqrt{3}\sin B)(2\sqrt{3}\sin C)\times \frac{1}{2}=3\sin B\sin C.$ 所以 $S+3\cos B\cos C=3\sin B\sin C+3\cos B\cos C=3\cos (B-C).$ 由 $A=\frac{5\pi }{6}$ 得 $B+C=\frac{\pi }{6}$，故 $B-C\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right),$ 当 $B=C=\frac{\pi }{12}$ 时 $\cos (B-C)$ 取最大值 $1$，即 ${\left(S+3\cos B\cos C\right)}_{\max }=3,\text{此时}B=\frac{\pi }{12}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求角与三角形面积的最值

核心方法：$(1)$ $a^2=b^2+c^2+\sqrt{3}bc$ 与余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 对照：$\cos A=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A\in (0,\pi )$ → $A=\frac{5\pi }{6}$。\n$(2)$ $a=\sqrt{3}$，$\sin A=\frac{1}{2}$ → $\frac{a}{\sin A}=2\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}\sin B$，$c=2\sqrt{3}\sin C$；$S=\frac{1}{2}bc\sin A=3\sin B\sin C$，故\n$S+3\cos B\cos C=3(\sin B\sin C+\cos B\cos C)=3\cos (B-C)$；\n$B+C=\frac{\pi }{6}$ → $B-C\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$，$B=C=\frac{\pi }{12}$ 时最大值 $3$

避坑指南：★ 两个高频错误：①由 $a^2=b^2+c^2+\sqrt{3}bc$ 得的是 $\cos A=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（负），$A=\frac{5\pi }{6}$ 而非 $\frac{\pi }{6}$；②$B+C=\frac{\pi }{6}$，所以 $B$ 最大只能取 $\frac{\pi }{6}$（$B=C=\frac{\pi }{12}$ 时取到最值），若答 $B=\frac{\pi }{3}$ 就越界了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理、正弦定理与三角形面积的最值。

结论推广：余弦定理求角；正弦定理边角互化；面积公式；$B-C$ 的余弦最值。

方法推广：对照余弦定理求 $A$ → 用正弦定理把 $b,c$ 化为 $\sin B,\sin C$ → 合并成 $\cos (B-C)$ → 由 $B+C$ 定范围与最值点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角