2013-重庆卷文-20 解-圆柱建池体积最大

本题导读

本题考查圆柱的表面积与体积。核心在于函数建模、导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，体积为 $V$ 立方米. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 $100$ 元/平方米，底面的建造成本为 $160$ 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 $12000\pi$ 元（$\pi$ 为圆周率）.

(1)将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V(r)$，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数 $V(r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $100\cdot 2\pi rh+160\pi r^2=12000\pi$ → $rh=60-\frac{4}{5}{r}^2$ → $h=\frac{60}{r}-\frac{4}{5}r$。
2. $V(r)=\pi r^{2}h=\pi \left(60r-\frac{4}{5}{r}^3\right)$；$h>0$ → $0<r<5\sqrt{3}$。
3. $V\prime (r)=\pi \left(60-\frac{12}{5}{r}^2\right)$：$(0,5)$ 内正、$\left(5,5\sqrt{3}\right)$ 内负 → $r=5$ 最大。
4. $h=\frac{60}{5}-\frac{4}{5}\times 5=8$，$V_{\max }=200\pi$。

✅【答案】

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(1)$V(r)=\pi \left(60r-\frac{4}{5}{r}^3\right)$，定义域 $(0,5\sqrt{3})$；(2)$r=5$，$h=8$ 时体积最大

✍【详细解析】

Abstract

（1） 无盖圆柱的侧面积为 $2\pi rh$，底面积为 $\pi r^2$。由题意 $100\cdot 2\pi rh+160\cdot \pi r^2=12000\pi .$ 两边同除以 $\pi$： $200rh+160r^2=12000⟹rh=60-\frac{4}{5}{r}^2.$ 于是 $h=\frac{60}{r}-\frac{4}{5}r(r>0).$ 蓄水池的体积 $V=\pi r^{2}h=\pi r^2\left(\frac{60}{r}-\frac{4}{5}r\right)=\pi \left(60r-\frac{4}{5}{r}^3\right).$ 又蓄水池必须有高度，即 $h>0$： $\frac{60}{r}-\frac{4}{5}r>0⟹r^2<75⟹0<r<5\sqrt{3}.$ 故 $V(r)=\pi \left(60r-\frac{4}{5}{r}^3\right),r\in (0,5\sqrt{3}).$ （2） 对 $V(r)$ 求导： $V\prime (r)=\pi \left(60-\frac{12}{5}{r}^2\right).$ 令 $V\prime (r)=0$ 得 $r^2=25$，即 $r=5$（$r>0$）。 · 当 $r\in (0,5)$ 时，$60-\frac{12}{5}{r}^2>0$，$V\prime (r)>0$，$V(r)$ 单调递增； · 当 $r\in \left(5,5\sqrt{3}\right)$ 时，$60-\frac{12}{5}{r}^2<0$，$V\prime (r)<0$，$V(r)$ 单调递减。 故 $r=5$ 是 $V(r)$ 在 $(0,5\sqrt{3})$ 内的唯一极大值点，也是最大值点。此时 $h=\frac{60}{5}-\frac{4}{5}\times 5=12-4=8,$ $V_{\max }=\pi \left(60\times 5-\frac{4}{5}\times 125\right)=\pi (300-100)=200\pi \text{立方米}.$ 即当底面半径 $r=5$ 米、高 $h=8$ 米时，蓄水池的体积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱蓄水池的成本约束与体积最大

核心方法：成本：$100\cdot 2\pi rh+160\cdot \pi r^2=12000\pi$ → $rh=60-\frac{4}{5}{r}^2$ → $h=\frac{60}{r}-\frac{4}{5}r$。\n$(1)$ $V=\pi r^{2}h=\pi \left(60r-\frac{4}{5}{r}^3\right)$；$h>0$ → $r^2<75$ → 定义域 $(0,5\sqrt{3})$。\n$(2)$ $V\prime (r)=\pi \left(60-\frac{12}{5}{r}^2\right)$，在 $(0,5)$ 内为正、在 $\left(5,5\sqrt{3}\right)$ 内为负 → $r=5$，$h=\frac{60}{5}-\frac{4}{5}\times 5=8$ 时 $V$ 最大，$V_{\max }=\pi \left(300-100\right)=200\pi$

避坑指南：成本等式两边先约去 $\pi$ 再解 $h$，运算量小一半；定义域由 $h>0$（蓄水池必须有高）得出，不是凭空写 $r>0$；讨论单调性时别忘说明”在 $(0,5\sqrt{3})$ 内只有一个极值点，故它就是最大值点”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆柱的表面积与体积、实际约束下的函数最值。

结论推广：圆柱侧面积与底面积公式；由约束解出 $h$；导数研究单调性求最值。

方法推广：列成本等式 → 解 $h(r)$ → 写 $V(r)$ 与定义域 → 求导定单调 → 定 $r,h$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-13 填-三视图圆柱挖棱柱
• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削
• 2014-福建卷文-03 单-旋转体