2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等

本题导读

本题考查对数的换底公式，以及对数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)）设 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为不等于 $1$ 的正实数，则下列等式中恒成立的是()

A. $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} b = lo g_{c} a$ 　　B. $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} a = lo g_{c} b$ 　　C. $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b \cdot lo g_{a} c$ 　　D. $lo g_{a} (b + c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$

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换底： $lo g_{c} a = \frac{l g a}{l g c}$ ， $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ 。

相乘得 $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} a = \frac{l g b}{l g c} = lo g_{c} b$ → B 真。

取 $b = 100$ 、 $a = 10$ 、 $c = 1000$ ：A 左 $= 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ 、右 $= \frac{1}{3}$ 假；C 要求 $2 = 2 \times 2$ 假；D 要求 $lo g_{a} (b + c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ 假。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由换底公式 $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ ， $lo g_{c} a = \frac{l g a}{l g c}$ （ $a$ ， $c \neq = 1$ ）： $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} a = \frac{l g b}{l g a} \cdot \frac{l g a}{l g c} = \frac{l g b}{l g c} = lo g_{c} b,$ 故 B 恒成立。其余选项取 $a = 10$ ， $b = 100$ ， $c = 1000$ 逐一检验： A 左 $= lo g_{10} 100 \cdot lo g_{1000} 100 = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ ，右 $= lo g_{1000} 10 = \frac{1}{3}$ ，不成立； C 左 $= lo g_{10} 1000 = 3$ ，右 $= lo g_{10} 100 \cdot lo g_{10} 1000 = 2 \times 3 = 6$ ，不成立（对数的积的对数等于对数之和，不是之积）； D 左 $= lo g_{10} 1100 \approx 3.04$ ，右 $= 2 + 3 = 5$ ，不成立。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的换底公式

核心方法： $lo g_{a} b \cdot lo g_{c} a = \frac{l g b}{l g a} \cdot \frac{l g a}{l g c} = \frac{l g b}{l g c} = lo g_{c} b$

避坑指南：把不同底的对数统一成常用对数（或统一成任一底）再约分：两条真数—底数的链条首尾相接时中间量 $l g a$ 恰好约掉；误用 $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b \cdot lo g_{a} c$ 是常见的错误联想。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数的换底公式与运算法则。

结论推广：换底统一底数；约分验证恒等。

方法推广：全部化成 $l g$ → 约去中间量 → 对照选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小

2014-安徽卷文-11 填-指对运算

2015-四川卷文-12 填-对数运算

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2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等

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