2013-陕西卷文-10 单-取整函数命题

本题导读

本题考查取整函数，以及函数的值与最值。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则对任意实数 $x$，有()

A. $[-x]=-[x]$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left[x+\frac{1}{2}\right]=[x]$

C. $[2x]=2[x]$　　　　　　　　　　　　　　　D. $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2x]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $x=\frac{1}{2}$：$[-\frac{1}{2}]=-1$，$-[0.5]=0$ → A 假；$[1]=1\ne [0.5]=0$ → B 假；$[1]=1\ne 2\times 0=0$ → C 假。
2. 验证 D：设 $x=n+t$（$n=[x]$，$t\in [0,1)$）。 · $t<0.5$：$[x+\frac{1}{2}]=n$，$[2x]=[2n+2t]=2n$ → 左 $=2n=$ 右。 · $t⩾0.5$：$[x+\frac{1}{2}]=n+1$，$[2x]=[2n+2t]=2n+1$ → 左 $=2n+1=$ 右。
3. D 恒成立。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

用两条反例即可否定前三项。取 $x=\frac{1}{2}$： $[-x]=\left[-\frac{1}{2}\right]=-1,-[x]=-\left[\frac{1}{2}\right]=0,$ 故 A 不成立； $\left[x+\frac{1}{2}\right]=[1]=1\ne [x]=0,$ 故 B 不成立； $[2x]=[1]=1\ne 2[x]=0,$ 故 C 不成立。 下面证明 D 恒成立。设 $x=n+t$，其中 $n=[x]\in \mathbf{Z}$，$t\in [0,1)$。 当 $0⩽t<\frac{1}{2}$ 时：$\frac{1}{2}⩽t+\frac{1}{2}<1$，故 $\left[x+\frac{1}{2}\right]=[n+t+\frac{1}{2}]=n$；又 $0⩽2t<1$，故 $[2x]=[2n+2t]=2n$。于是 $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=n+n=2n=[2x].$ 当 $\frac{1}{2}⩽t<1$ 时：$1⩽t+\frac{1}{2}<\frac{3}{2}$，故 $\left[x+\frac{1}{2}\right]=n+1$；又 $1⩽2t<2$，故 $[2x]=2n+1$。于是 $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=n+(n+1)=2n+1=[2x].$ 两种情形均有 D 成立。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数的性质与命题判断

核心方法：$[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数；举反例否 A（$x=\frac{1}{2}$：$[-\frac{1}{2}]=-1\ne -[\frac{1}{2}]=0$）、B（$x=\frac{1}{2}$：$[1]=1\ne [0.5]=0$）、C（$x=\frac{1}{2}$：$[1]=1\ne 2[0.5]=0$）；D 恒成立（按 $x$ 的小数部分分 $<\frac{1}{2}$、$⩾\frac{1}{2}$ 两类验证）

避坑指南：判断这类命题先举反例否定，再把选项 D 分成”小数部分 $<0.5$“与"$⩾0.5$"两段证明：前者 $[x+\frac{1}{2}]=[x]$、$[2x]=2[x]$，后者 $[x+\frac{1}{2}]=[x]+1$、$[2x]=2[x]+1$，两段都等于 D 的两边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：取整函数（高斯函数）的性质与命题辨析。

结论推广：举反例排除；按小数部分分类证明。

方法推广：特值试三个选项 → 剩余选项分类验证恒等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期
• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值
• 2015-湖北卷文-07 单-符号函数