2013-陕西卷理-05 单-面积类几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及面积类几何概型。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 如图（见解析图示），在矩形区域 $ABCD$ 的 $A,C$ 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 $ADE$ 和扇形区域 $CBF$（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()

A. $1-\frac{\pi }{4}$　　　　　B. $\frac{\pi }{2}-1$　　　　　C. $2-\frac{\pi }{2}$　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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1. 明确几何概型公式：$P=\frac{\text{目标区域面积}}{\text{总体区域面积}}$。
2. 计算总面积：根据图示（隐含条件通常为 $AD=1,AB=2$ 或类似比例，由解析中总面积为 2 可推知矩形边长），计算矩形 $ABCD$ 的面积。
3. 计算有信号面积：有信号区域由两个半径为 1 的 $1/4$ 圆（即扇形）组成。
4. 计算无信号面积：用总面积减去有信号面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何尺寸与总面积 根据题目图示及解析数据： 设矩形 $AD=1,AB=2$（这是使扇形半径为 1 且不重叠的典型设问）。 矩形总面积 $S_{\text{矩}}=1\times 2=2$。

第二步：计算有信号区域面积 点 $A$ 处的扇形 $ADE$ 是半径为 1 的 $1/4$ 圆，面积 $S_1=\frac{1}{4}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{4}$。 点 $C$ 处的扇形 $CBF$ 也是半径为 1 的 $1/4$ 圆，面积 $S_2=\frac{1}{4}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{4}$。 总有信号面积 $S_{\text{有}}=S_1+S_2=\frac{\pi }{2}$。

第三步：计算无信号概率 无信号区域面积 $S_{\text{无}}=S_{\text{矩}}-S_{\text{有}}=2-\frac{\pi }{2}$。 所求概率 $P=\frac{S_{\text{无}}}{S_{\text{矩}}}=\frac{2-\frac{\pi }{2}}{2}=1-\frac{\pi }{4}$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型中“概率 = 面积比”的转化。

核心方法：“整体减局部”。直接计算无信号区域（曲边不规则形状）较为困难，通常先算规则形状（扇形）再相减。

避坑指南：审题要仔细。题目问的是“无信号”的概率，如果算出 $\frac{\pi }{4}$（即有信号的概率），就落入了陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：互斥事件的概率、圆与扇形的面积公式。

结论推广：若两个 $1/4$ 圆半径之和大于矩形长，则需考虑重叠面积的计算（容斥原理）。

方法推广：几何概型同样适用于长度比、体积比、角度比等场景。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型
• 2015-湖北卷文-08 单-几何概型