2013-陕西卷理-14 填-归纳推理的基本方法

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及归纳推理。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 观察下列等式：

$1^2=1$

$1^2-2^2=-3$

$1^2-2^2+3^2=6$

$1^2-2^2+3^2-4^2=-10$

$\dots$

照此规律，第 $n$ 个等式可为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析左侧结构：
   • 项数：第 1 个等式有 1 项，第 2 个有 2 项，… 第 $n$ 个等式左侧有 $n$ 项。
   • 底数：依次为 $1,2,3,\dots ,n$。
   • 符号：正、负交替出现。第 1 项为正，第 2 项为负。可以用 $(-1{)}^{n-1}$ 来表示第 $n$ 项的符号。
2. 分析右侧数值：
   • 绝对值序列：$1,3,6,10,\dots$。
   • 规律：$1=1$, $3=1+2$, $6=1+2+3$, $10=1+2+3+4$。
   • 结论：第 $n$ 个等式右侧的绝对值是前 $n$ 个自然数的和，即 $\frac{n(n+1)}{2}$。
3. 分析右侧符号：
   • 当 $n$ 为奇数时，右侧为正；当 $n$ 为偶数时，右侧为负。
   • 符号表示：同样可以使用 $(-1{)}^{n-1}$。

✅【答案】

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$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}{n}^2=(-1{)}^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：归纳左侧表达式 第 $n$ 个等式的左侧是从 $1^2$ 开始的平方数交错和，共有 $n$ 项。 其最后一项（第 $n$ 项）的通用形式为 $(-1{)}^{n-1}\cdot n^2$。 故左侧为：$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}\cdot n^2$。

第二步：归纳右侧结果 观察结果的绝对值：

• $n=1$ 时，$|1|=\frac{1\times 2}{2}=1$
• $n=2$ 时，$|-3|=\frac{2\times 3}{2}=3$
• $n=3$ 时，$|6|=\frac{3\times 4}{2}=6$
• $n=4$ 时，$|-10|=\frac{4\times 5}{2}=10$ 右侧数值的绝对值公式为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

观察符号位： 结果的符号与 $n$ 的奇偶性一致（$n$ 为奇数结果为正，$n$ 为偶数结果为负），符号可以用 $(-1{)}^{n-1}$ 表示。 故右侧为：$(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{n(n+1)}{2}$。

第三步：组合等式 第 $n$ 个等式为： $1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}\cdot n^2=(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。

故填入答案为：$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}{n}^2=(-1{)}^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理。通过对有限个特殊情况的观察，挖掘其中的算术规律和结构规律。

核心方法：“拆分观察法”。将复杂的等式拆分为底数、指数、符号、结果绝对值四个维度分别观察，再进行综合。

避坑指南：注意符号位的幂次。常见的交替符号为 $(-1{)}^n$（首项为负）或 $(-1{)}^{n-1}$（首项为正）。本题首项为正，故需使用 $n-1$ 或 $n+1$ 作为幂次。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列求和、数学归纳法证明。

结论推广：利用平方差公式可以证明此结论。 当 $n$ 为偶数（设为 $2k$）时： $(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots +[(2k-1{)}^2-(2k{)}^2]$ $=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\cdots +(-1)(2k-1+2k)$ $=-(1+2+3+4+\cdots +2k)=-\frac{2k(2k+1)}{2}$，符合公式。

方法推广：在处理数列求和或等式归纳题时，观察结果与项数 $n$ 的函数关系（如线性、二次、指数）是破题关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式