2013-陕西卷理-19 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于排列组合法、独立事件乘法公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手.

其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，并在 3 至 5 号中随机选 2 名.

观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.

（I）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； （II）$X$ 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（条件组合概率）：
   • 分析甲的选择：甲必选 1 不选 2，剩下的 2 个名额从 3, 4, 5 中选，计算选到 3 的概率 $P(A)$。
   • 分析乙的选择：乙从 5 个中选 3 个，计算未选到 3 的概率 $P(B)$。
   • 利用独立事件乘法公式：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定 $X$ 的取值范围：$X\in \{0,1,2,3\}$。
   • 确定每个观众投给 3 号的概率：
     • 甲投给 3 号的概率 $p_1=2/3$。
     • 乙投给 3 号的概率 $p_2=C_4^2/C_5^3=3/5$。
     • 丙投给 3 号的概率 $p_3=3/5$（同乙）。
   • 逐一计算 $X=0,1,2,3$ 的概率。例如 $P(X=1)$ 需考虑（甲中，乙丙不中）、（甲不中，乙中丙不中）、（甲不中，丙中乙不中）三类情况之和。
   • 列出表格并根据 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 求期望。

✅【答案】

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则所求概率 $P=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解： 设事件 $A$ 为“观众甲选中 3 号歌手”，事件 $B$ 为“观众乙未选中 3 号歌手”。 对于甲：由于必选 1 号不选 2 号，还需从 3, 4, 5 号中选 2 名。 选中 3 号的概率 $P(A)=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$。 对于乙：从 5 位歌手中任选 3 名，样本空间大小为 $C_5^3=10$。 未选中 3 号（即从 1, 2, 4, 5 中选 3 名）的概率 $P(B)=\frac{C_4^3}{C_5^3}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。 由于甲、乙选票彼此独立， 则所求概率 $P=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$。

（II）解： $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。 由（I）知，甲选中 3 号的概率为 $2/3$，乙、丙选中 3 号的概率均为 $1-2/5=3/5$。

$P(X=0)=(1-\frac{2}{3})\times (1-\frac{3}{5})\times (1-\frac{3}{5})=\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{75}$； $P(X=1)=\frac{2}{3}\times (\frac{2}{5}{)}^2+\frac{1}{3}\times C_2^1\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{8}{75}+\frac{12}{75}=\frac{20}{75}=\frac{4}{15}$； $P(X=2)=\frac{2}{3}\times C_2^1\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\times (\frac{3}{5}{)}^2=\frac{24}{75}+\frac{9}{75}=\frac{33}{75}=\frac{11}{25}$； $P(X=3)=\frac{2}{3}\times (\frac{3}{5}{)}^2=\frac{18}{75}=\frac{6}{25}$。

$X$ 的分布列如下：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{4}{75}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{11}{25}$	$\frac{6}{25}$

数学期望 $EX=0\times \frac{4}{75}+1\times \frac{20}{75}+2\times \frac{33}{75}+3\times \frac{18}{75}=\frac{20+66+54}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件概率的“乘法法则”；离散型随机变量的分布列（需列出所有组合情况）；期望公式的应用。

核心方法：“先求概率，再算分布”。本题的难点在于甲、乙、丙投票给 3 号的概率并不一致（甲是 $2/3$，乙丙是 $3/5$），因此不能直接套用二项分布公式，必须分类讨论计算。

避坑指南：计算 $P(X=1)$ 和 $P(X=2)$ 时最容易漏掉甲的情况。建议使用 $P_{甲}\times P_{乙}\times P_{丙}$ 的形式排列组合，或者使用对立事件简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：超几何分布、期望的线性性质。

结论推广：若甲、乙、丙的概率均为 $p$，则 $X\sim B(3,p)$。本题属于非等概率的独立重复实验模型。

方法推广：遇到多个独立个体对同一目标进行选择时，画“树形图”或列“情况清单”可以有效避免遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型