2014-上海卷理-13 填-数学期望

本题导读

本题考查离散型随机变量期望公式的灵活运用。通过分布列概率之和为 1 以及期望已知这两个条件，构造关于目标概率的不等式，求出其下界。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 某游戏的得分为 $1,2,3,4,5$，随机变量 $\xi$ 表示小白玩该游戏的得分.若 $E(\xi )=4.2$，则小白得 $5$ 分的概率至少为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设变量：设得 $i$ 分的概率为 $p_i$ ($i=1,2,3,4,5$)。
2. 列方程组：
   • 根据概率之和为 1：$\sum p_i=1$；
   • 根据数学期望公式：$\sum i\cdot p_i=4.2$。
3. 消元处理：我们的目标是求 $p_5$ 的最小值。可以通过两个方程相减，消去尽可能多的低分项，或者构造一个包含 $p_5$ 的不等式。
4. 利用非负性：利用 $p_i\ge 0$ 这一隐含条件，将其他概率项放大或缩小，从而得出 $p_5$ 的范围。

✅【答案】

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$0.2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出基本关系式 设得 $i$ 分的概率为 $p_i$ ($i=1,2,3,4,5$)，则： ① $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5=1$ ② $1p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5=4.2$

第二步：消元与构造不等式 为了孤立 $p_5$，我们将 ① 式两边同乘以 4： ③ $4p_1+4p_2+4p_3+4p_4+4p_5=4$ 用 ② 式减去 ③ 式： $(1-4)p_1+(2-4)p_2+(3-4)p_3+(4-4)p_4+(5-4)p_5=4.2-4$ 整理得： $-3p_1-2p_2-p_3+p_5=0.2$ 移项得： $p_5=0.2+3p_1+2p_2+p_3$

第三步：利用概率非负性求最小值 由于 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 均为概率值，必须满足 $p_i\ge 0$。 要使 $p_5$ 最小，只需令 $p_1,p_2,p_3$ 尽可能小。 当 $p_1=p_2=p_3=0$ 时，$p_5$ 取得最小值： $p_5\ge 0.2+0+0+0=0.2$ （此时若 $p_4=0.8,p_5=0.2$，则 $E(\xi )=4\times 0.8+5\times 0.2=3.2+1=4.2$，完全符合题意）。

故答案为 $0.2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数学期望 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 以及 $\sum p_i=1$。

2. 核心方法：系数调整法。通过消去中间项（如本题中的 $p_4$），利用剩余项的系数符号来判断最值方向。

3. 避坑指南：注意不要漏掉 $p_i\ge 0$ 的条件，这是概率问题的天然边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 马尔可夫不等式 (Markov’s Inequality) 的离散应用背景。

2. 结论推广: 若得分范围为 $[1,n]$，期望为 $E$，则最高分 $n$ 的概率 $p_n\ge \frac{E-(n-1)}{n-(n-1)}=E-n+1$（仅当除最高分外其余概率集中在次高分时成立）。

3. 方法推广: 系数调整法。通过消去中间项（如本题中的 $p_4$），利用剩余项的系数符号来判断最值方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2026-新高考I卷-08 单-期望
• 2025-上海卷-06 填-期望