2014-北京卷文-10 填-双曲线标准方程

本题导读

$a=1$、$c=\sqrt{2}$，$b^2=2-1=1$，方程 $x^2-y^2=1$（等轴双曲线）。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 设双曲线 $C$ 的两个焦点为 $(-\sqrt{2},0)$，$(\sqrt{2},0)$，一个顶点是 $(1,0)$，则 $C$ 的方程为$\underline{}$.

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$a=1$、$c=\sqrt{2}$，$b^2=2-1=1$，方程 $x^2-y^2=1$（等轴双曲线）。

✅【答案】

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$x^2-y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

焦点在 $x$ 轴上，设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

顶点 $(1,0)$：$a=1$；焦点 $(\pm \sqrt{2},0)$：$c=\sqrt{2}$。

$b^2=c^2-a^2=2-1=1$。

所以 $C$ 的方程为 $x^2-y^2=1$（等轴双曲线，离心率 $\sqrt{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的标准方程；$a$、$b$、$c$ 的关系

2. 核心方法：定型（焦点位置）→ 定 $a$、$c$ → 算 $b^2=c^2-a^2$

3. 避坑指南：双曲线是 $b^2=c^2-a^2$（减法方向与椭圆 $b^2=a^2-c^2$ 相反），套错公式是本类题第一大错源；$a=b=1$ 时为等轴双曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线标准方程题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 4 题（双曲线离心率）同族。

2. 结论推广: 一般地，焦点位置定方程形式；顶点给 $a$、焦点给 $c$，$b^2=c^2-a^2$ 收尾；$a=b$ 时渐近线 $y=\pm x$、$e=\sqrt{2}$。

3. 方法推广: 圆锥曲线标准方程三步：定型 → 定 $a$、$c$ → 算 $b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程