2014-北京卷理-17 解-线线平行与线面平行

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问考查线面平行的性质定理；第二问考查空间向量法求解线面角及点在棱上的定位与长度计算，体现了数形结合的思想。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 如图，正方形 $AMDE$ 的边长为 $2$，$B,C$ 分别为 $AM,MD$ 的中点.在五棱锥 $P-ABCDE$ 中，$F$ 为棱 $PE$ 的中点，平面 $ABF$ 与棱 $PD,PC$ 分别交于点 $G,H$.

(1) 求证：$AB\parallel FG$；

(2) 若 $PA\perp$ 底面 $ABCDE$，且 $PA=AE$，求直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角的大小，并求线段 $PH$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 观察底面：$AB\parallel DE$（正方形性质）。
   • 线面平行判定：因为 $AB\parallel DE$，且 $DE\subset$ 平面 $PDE$，故 $AB\parallel$ 平面 $PDE$。
   • 线面平行性质：平面 $ABF\cap$ 平面 $PDE=FG$，利用性质定理可证 $AB\parallel FG$。
2. 第二问思路：
   • 建系：由于 $PA\perp$ 平面 $ABCDE$，且底面包含直角 $A$，以 $A$ 为原点，$AB,AE,AP$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求向量与法向量：写出 $A,B,C,F$ 等点坐标，求出平面 $ABF$ 的法向量 $\vec{n}$ 以及直线向量 $\overrightarrow{BC}$。
   • 线面角计算：利用 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{BC}⟩|$ 求解。
   • 点 $H$ 的定位：点 $H$ 在棱 $PC$ 上，可设 $\overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}$，利用 $H$ 在平面 $ABF$ 上（即 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AH}=0$）求出 $\lambda$，进而计算 $PH$ 长度。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $AB\parallel$ 平面 $PDE$。；故答案为 直线与平面所成角为 $\frac{\pi }{6}$；线段 $PH$ 长为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：线面平行 在正方形 $AMDE$ 中，因为 $B$ 是 $AM$ 的中点， 所以 $AB\parallel DE$。 又因为 $AB\not\subset$ 平面 $PDE$，$DE\subset$ 平面 $PDE$， 所以 $AB\parallel$ 平面 $PDE$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $ABF$，且平面 $ABF\cap$ 平面 $PDE=FG$， 根据线面平行的性质定理，可得 $AB\parallel FG$。

(2) 解：向量法求角与长度 因为 $PA\perp$ 底面 $ABCDE$，且 $AM\perp AE$，


如图建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 由已知 $AE=2,PA=2$，得： $A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),E(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1)$。 则 $\overrightarrow{AB}=(1,0,0),\overrightarrow{AF}=(0,1,1),\overrightarrow{BC}=(1,1,0)$。 设平面 $ABF$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， 则 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=x=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AF}=y+z=0\end{array}$，令 $z=1$，则 $y=-1,x=0$。 所以 $\vec{n}=(0,-1,1)$。 设直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角为 $\alpha$， $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{BC}⟩|=\frac{|0\times 1+(-1)\times 1+1\times 0|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。 故直线 $BC$ 与平面 $ABF$ 所成角为 $\frac{\pi }{6}$（或 $30^{\circ }$）。

设 $H(u,v,w)$，由于 $H$ 在棱 $PC$ 上，设 $\overrightarrow{PH}=\lambda \overrightarrow{PC}(0<\lambda <1)$。 因为 $\overrightarrow{PC}=(2,1,-2)$，所以 $(u,v,w-2)=\lambda (2,1,-2)$， 得 $u=2\lambda ,v=\lambda ,w=2-2\lambda$。 因为 $H$ 在平面 $ABF$ 内，所以 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AH}=0$， 即 $(0,-1,1)\cdot (2\lambda ,\lambda ,2-2\lambda )=-\lambda +2-2\lambda =0$， 解得 $\lambda =\frac{2}{3}$。 此时 $\overrightarrow{PH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}$， 所以 $PH=\frac{2}{3}|\overrightarrow{PC}|=\frac{2}{3}\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}=\frac{2}{3}\times 3=2$。

故答案为 直线与平面所成角为 $\frac{\pi }{6}$；线段 $PH$ 长为 $2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定与性质、向量法求线面角。

2. 核心方法：证 $AB\parallel DE$ 得线面平行再用性质；建系求法向量算角与 $PH$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面平行性质定理与空间向量法。

2. 结论推广: 平面与平面的交线与平行于平面的直线平行。

3. 方法推广: 线面角用 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{BC}⟩|$ 计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离