2014-四川卷理-09 单-奇偶性定义与判定

本题导读

本题考查对数函数的综合性质。涵盖了奇偶性判定、复杂的对数恒等变形以及利用导数工具证明函数不等式，对数学抽象和逻辑推理能力有较高要求。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x),x\in (-1,1)$. 现有下列命题：

① $f(-x)=-f(x)$；

② $f\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=2f(x)$；

③ $|f(x)|\ge 2|x|$.

其中的所有正确命题的序号是 ()

A. ①②③　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ①③　　　　　　D. ①②

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证命题 ①：利用奇偶性定义 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系直接判定。
2. 验证命题 ②：将 $\frac{2x}{x^2+1}$ 代入函数解析式，利用对数的运算性质 $\ln a+\ln b=\ln (ab)$ 和完全平方公式进行化简。
3. 验证命题 ③：
   • 利用奇偶性，只需研究 $x\in [0,1)$ 的情况。
   • 构造辅助函数 $g(x)=f(x)-2x$，通过求导判定其单调性，从而确定 $f(x)$ 与 $2x$ 的大小关系。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证命题 ①（奇偶性） $f(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=-[\ln (1+x)-\ln (1-x)]=-f(x)$ 故 $f(x)$ 是奇函数，命题 ① 正确。

第二步：验证命题 ②（恒等变形） 左边 $=f\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=\ln \left(1+\frac{2x}{x^2+1}\right)-\ln \left(1-\frac{2x}{x^2+1}\right)$ $=\ln \left(\frac{x^2+1+2x}{x^2+1}\right)-\ln \left(\frac{x^2+1-2x}{x^2+1}\right)$ $=\ln (x^2+2x+1)-\ln (x^2-2x+1)$ $=\ln (1+x{)}^2-\ln (1-x{)}^2=2\ln (1+x)-2\ln (1-x)$ $=2f(x)$ 注意：当 $x\in (-1,1)$ 时，$\frac{2x}{x^2+1}$ 亦在 $(-1,1)$ 内，复合函数定义域合法。故命题 ② 正确。

第三步：验证命题 ③（不等式） 由于 $f(x)$ 是奇函数，只需证明当 $x\in [0,1)$ 时，$f(x)\ge 2x$。 构造函数 $g(x)=f(x)-2x$，则 $g(0)=f(0)-0=0$。 对 $g(x)$ 求导： $g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{-1}{1-x}-2=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-2$ $g^{\prime }(x)=\frac{(1-x)+(1+x)}{1-x^2}-2=\frac{2}{1-x^2}-2=\frac{2-2(1-x^2)}{1-x^2}=\frac{2x^2}{1-x^2}$ 当 $x\in (0,1)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，所以 $g(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调递增。 因此 $g(x)\ge g(0)=0$，即 $f(x)\ge 2x$。 同理，当 $x\in (-1,0)$ 时，$f(x)\le 2x⟹|f(x)|\ge |2x|=2|x|$。故命题 ③ 正确。

综上所述，①②③ 均正确。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算与导数应用。 2. 解题技巧：对于命题 ②，若直接代入繁琐，可利用 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ 的形式进行运算；对于命题 ③，构造函数差值并求导是处理此类不等式的标准“套路”。 3. 特别说明：部分解析认为命题 ② 的 $x$ 取值范围可能超出 $(-1,1)$，但在高考语境下，通常默认 $x$ 在原函数的定义域内讨论，故 A 为标准答案。

2. 核心方法：用定义判定奇偶性，构造函数求导证明不等式

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 对数运算与导数应用。 2. 解题技巧：对于命题 ②，若直接代入繁琐，可利用 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ 的形式进行运算；对于命题 ③，构造函数差值并求导是处理此类不等式的标准“套路”。 3. 特别说明：部分解析认为命题 ② 的 $x$ 取值范围可能超出 $(-1,1)$，但在高考语境下，通常默认 $x$ 在原函数的定义域内讨论，故 A 为标准答案。

2. 结论推广: 奇函数的不等式证明可只研究 $[0,+\infty )$ 一侧。

3. 方法推广: 证明 $f(x)\ge g(x)$ 常构造差函数研究单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-02 单-奇偶性定义
• 2013-天津卷理-08 单-奇偶性与单调性
• 2013-四川卷理-07 单-定义域