2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算

本题导读

本题考查复数的基本运算，重点在于复数除法的代数运算法则以及共轭复数的定义。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 设 $z=\frac{10\text{i}}{3+\text{i}}$，则 $z$ 的共轭复数为()

A. $-1+3\text{i}$　　　　B. $-1-3\text{i}$　　　　C. $1+3\text{i}$　　　　D. $1-3\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数除法化简：分子、分母同时乘以分母的共轭复数 $3-\text{i}$，将复数 $z$ 化为 $a+b\text{i}$ 的标准形式。

2. 求共轭复数：根据共轭复数的定义，若 $z=a+b\text{i}$，则其共轭复数为 $\bar{z}=a-b\text{i}$（实部不变，虚部变号）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简复数 $z$

$z=\frac{10\text{i}}{3+\text{i}}=\frac{10\text{i}(3-\text{i})}{(3+\text{i})(3-\text{i})}$

利用平方差公式 $(3+\text{i})(3-\text{i})=3^2-{\text{i}}^2=9-(-1)=10$：

$z=\frac{30\text{i}-10{\text{i}}^2}{10}=\frac{30\text{i}-10(-1)}{10}=\frac{10+30\text{i}}{10}=1+3\text{i}$

第二步：求共轭复数 $\bar{z}$

已知 $z=1+3\text{i}$，

根据共轭复数的定义得：

$\bar{z}=1-3\text{i}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算与共轭复数的定义

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数 $3-\text{i}$，将 $z$ 化为 $a+b\text{i}$ 标准形式

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数除法的代数运算法则（分母实数化）

2. 结论推广: 共轭复数实部不变、虚部变号，即 $\bar{z}=a-b\text{i}$。

3. 方法推广: 适用于一切复数除法化简及共轭复数、模的求解题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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