2014-大纲卷理-02 单-集合交集

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法以及集合的交集运算。重点在于准确求解不等式并正确识别区间端点的开闭状态。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 设集合 $M=\{x\mid x^2-3x-4<0\}$，$N=\{x\mid 0\le x\le 5\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $(0,4]$　　　　B. $[0,4)$　　　　C. $[-1,0)$　　　　D. $(-1,0]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：通过因式分解或求根公式解一元二次不等式 $x^2-3x-4<0$。

2. 确定交集范围：利用数轴表示出集合 $M$ 和 $N$ 的范围，寻找它们的公共部分。

3. 注意端点：准确判断交集区间端点的包含情况（开还是闭）。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式化简集合 $M$

由 $x^2-3x-4<0$，因式分解得：

$(x-4)(x+1)<0$

解得 $-1<x<4$。

所以 $M=\{x\mid -1<x<4\}$。

第二步：求交集 $M\cap N$

已知 $N=\{x\mid 0\le x\le 5\}$。

求 $M\cap N$，即求同时满足 $-1<x<4$ 和 $0\le x\le 5$ 的 $x$ 的范围。

在数轴上画出两个区间：

• 集合 $M$ 为 $(-1,4)$；

• 集合 $N$ 为 $[0,5]$。

  它们的公共部分起点为 $0$（由于 $0\in N$ 且 $0\in M$，故包含 $0$），终点为 $4$（由于 $4\notin M$，故不包含 $4$）。

  因此 $M\cap N=\{x\mid 0\le x<4\}$，记作 $[0,4)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的解法与集合的交集运算

2. 核心方法：因式分解解一元二次不等式，数轴法求公共部分并判断端点开闭

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考集合基本运算常规题

2. 结论推广: 求交集取两集合范围的公共部分，端点取“开闭”中更严格者。

3. 方法推广: 适用于解不等式与集合交、并、补相结合的综合题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集