2014-大纲卷理-11 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成角的余弦值计算。核心在于通过平移将异面直线转化为相交直线，并利用二面角的定义和三角形的余弦定理进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 已知二面角 $\alpha -l-\beta$ 为 $60^{\circ }$，$AB\subset \alpha$，$AB\perp l$，$A$ 为垂足，$CD\subset \beta$，$C\in l$，$\angle ACD=135^{\circ }$，则异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平移异面直线：要求异面直线 $AB$ 与 $CD$ 的角，过点 $A$ 在平面 $\beta$ 内作 $AF\parallel CD$，则 $\angle BAF$（或其补角）即为异面直线所成的角。

2. 利用二面角定义：作 $BE\perp \beta$ 于 $E$，则 $\angle BAE$ 即为二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角，为 $60^{\circ }$。

3. 构建解题三角形：在 $△BAF$ 中，通过设参（如设 $AE=a$）计算出 $AB,AF,BF$ 的长度。

4. 应用余弦定理：在 $△BAF$ 中，利用余弦定理求出 $\cos \angle BAF$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造辅助线与平移

如图所示，在平面 $\beta$ 内过点 $A$ 作 $AF\parallel CD$。

因为 $AF\parallel CD$，所以异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角即为 $\angle BAF$。

过 $B$ 点作 $BE\perp \beta$ 于 $E$，连接 $AE,EF,BF$。

由于 $AB\perp l$，则 $AE$ 为 $AB$ 在平面 $\beta$ 内的射影，且 $AE\perp l$。

因此 $\angle BAE=60^{\circ }$ 为二面角的平面角。

第二步：确定各线段长度（设参 $AE=a$）

1. 在 $Rt△BEA$ 中：

   $AE=a,\angle BAE=60^{\circ }⟹AB=\frac{AE}{\cos 60^{\circ }}=2a,BE=a\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}a$。

2. 在平面 $\beta$ 内：

   由于 $AE\perp l$，$AF\parallel CD$，且 $\angle ACD=135^{\circ }$，

   通过同位角及余角关系可得 $\angle EAF=45^{\circ }$（或 $135^{\circ }$，取锐角方向）。

   3. 在 $△AEF$ 中：

   作 $EF\perp AE$（即让 $F$ 为特定位置辅助点，方便计算 $AF$），令 $EF=a$，则 $AF=\sqrt{2}a$。

3. 在 $Rt△BEF$ 中：

   $BF=\sqrt{B{E}^2+E{F}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$。

第三步：利用余弦定理求角

在 $△BAF$ 中，三边长分别为 $AB=2a,AF=\sqrt{2}a,BF=2a$。

由余弦定理：

$\cos \angle BAF=\frac{A{B}^2+A{F}^2-B{F}^2}{2AB\cdot AF}=\frac{(2a{)}^2+(\sqrt{2}a{)}^2-(2a{)}^2}{2\cdot 2a\cdot \sqrt{2}a}$

$\cos \angle BAF=\frac{2a^2}{4\sqrt{2}{a}^2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

故选 B


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线角的几何求法（一找、二作、三证、四求）。

2. 核心方法：“平移转化法”。通过平移将异面问题转化为平面三角形问题。

3. 避坑指南：空间想象能力不足时，极易混淆 $AF$ 与 $l$ 的夹角以及 $AF$ 与 $AE$ 的夹角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面角、二面角、向量的数量积公式。

2. 结论推广: 若采用空间向量法，建立以 $A$ 为原点的坐标系，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$ 的计算更具程序化，能避免繁琐的辅助线。

3. 方法推广: 异面直线角 $\theta$ 的范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，若余弦值为负，需取绝对值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角
• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角