2014-天津卷文-17 解-四棱锥线面角

本题导读

(1) 取 $PB$ 中点 $M$，证四边形 $AMFE$ 为平行四边形；(2) 先定平面角 $\angle PEB=60^{\circ }$，再证 $BE\perp$ 平面 $PBC$。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 如图，四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形，$BA=BD=\sqrt{2}$，$AD=2$，$PA=PD=\sqrt{5}$，$E$，$F$ 分别是棱 $AD$，$PC$ 的中点.

(1) 证明：$EF\parallel$ 平面 $PAB$；

(2) 若二面角 $P\text{-}AD\text{-}B$ 为 $60^{\circ }$， (i) 证明：平面 $PBC\perp$ 平面 $ABCD$； (ii) 求直线 $EF$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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(1) 取 $PB$ 中点 $M$，则 $MF\parallel BC$ 且 $MF=\frac{1}{2}BC=AE$，得平行四边形 $AMFE$；(ii) 关键是算出 $PB=\sqrt{3}$ 与 $EF=AM=\frac{\sqrt{11}}{2}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)(i) 证明见解析；(ii) $\frac{2\sqrt{11}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $PB$ 的中点 $M$，连接 $MF$，$AM$。 因为 $F$ 为 $PC$ 的中点，所以 $MF\parallel BC$ 且 $MF=\frac{1}{2}BC$。 又底面 $ABCD$ 是平行四边形，故 $BC\parallel AD$ 且 $BC=AD$，而 $E$ 是 $AD$ 的中点，所以 $MF\parallel AE$ 且 $MF=AE$。 于是四边形 $AMFE$ 是平行四边形，$EF\parallel AM$。 又 $AM\subset$ 平面 $PAB$，$EF\not\subset$ 平面 $PAB$，故 $EF\parallel$ 平面 $PAB$。 (2)(i) 因为 $BA=BD$，$E$ 为 $AD$ 的中点，所以 $BE\perp AD$；因为 $PA=PD$，所以 $PE\perp AD$。 于是 $\angle PEB$ 是二面角 $P\text{-}AD\text{-}B$ 的平面角，$\angle PEB=60^{\circ }$。 在 $△ABD$ 中，$AB=BD=\sqrt{2}$，$AD=2$，有 $A{B}^2+B{D}^2=4=A{D}^2$，故 $\angle ABD=90^{\circ }$，$BE=\frac{1}{2}AD=1$。 在 $△PAD$ 中，$PA=PD=\sqrt{5}$，$AD=2$，故 $PE=\sqrt{P{A}^2-A{E}^2}=\sqrt{5-1}=2$。 在 $△PEB$ 中，由余弦定理 $P{B}^2=P{E}^2+B{E}^2-2\times PE\times BE\times \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$，即 $PB=\sqrt{3}$。 于是 $B{E}^2+P{B}^2=1+3=4=P{E}^2$，所以 $\angle EBP=90^{\circ }$，即 $BE\perp PB$。 又 $BE\perp AD$ 且 $AD\parallel BC$，故 $BE\perp BC$。 而 $PB\cap BC=B$，$PB$，$BC\subset$ 平面 $PBC$，所以 $BE\perp$ 平面 $PBC$。 因为 $BE\subset$ 平面 $ABCD$，故平面 $PBC\perp$ 平面 $ABCD$。 (ii) 由 (i) 知 $BE\perp$ 平面 $PBC$，故 $B$ 是 $E$ 在平面 $PBC$ 内的射影，$\angle EFB$ 就是直线 $EF$ 与平面 $PBC$ 所成的角，且 $\angle EBF=90^{\circ }$。 在 $△ABP$ 中，$AB=\sqrt{2}$，$PB=\sqrt{3}$，$PA=\sqrt{5}$，有 $A{B}^2+P{B}^2=5=P{A}^2$，故 $\angle ABP=90^{\circ }$。 $M$ 为 $PB$ 的中点，则 $AB\perp BM$，所以 $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$。 由 (1) 知 $EF=AM=\frac{\sqrt{11}}{2}$。 在 $\mathrm{Rt}△EBF$ 中，$\sin \angle EFB=\frac{BE}{EF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{2}}=\frac{2\sqrt{11}}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与平面平行、平面与平面垂直的判定

2. 核心方法：几何法求直线与平面所成角

3. 避坑指南：判断二面角 $P\text{-}AD\text{-}B$ 的平面角须同时有 $PE\perp AD$ 与 $BE\perp AD$，两个垂直缺一不可；证得 $BE\perp$ 平面 $PBC$ 后，所成角的正弦是 $\frac{BE}{EF}$ 而不是 $\frac{BF}{EF}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间点、线、面的位置关系与空间角。

2. 结论推广: 线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行；面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线；线面角由斜线段与其投影的夹角给出，$E$ 在平面 $PBC$ 内的投影为 $B$。

3. 方法推广: 立体几何证明“先找中点”：平行问题取中点造中位线，垂直问题用等腰三角形中线，最后一问把所求角放到直角三角形里算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-18 解-四棱锥线面
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直