2014-天津卷理-05 单-双曲线的渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线平行于直线 $l:y=2x+10$，双曲线的一个焦点在直线 $l$ 上，则双曲线的方程为()

A. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{3x^2}{25}-\frac{3y^2}{100}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{3x^2}{100}-\frac{3y^2}{25}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据渐近线平行求出 $b/a$ 的关系。
2. 求出双曲线的焦点坐标，代入直线 $l$ 求出 $c$，进而结合 $c^2=a^2+b^2$ 解得 $a^2,b^2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为其一条渐近线平行于直线 $y=2x+10$，所以 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。 双曲线的一个焦点坐标为 $(c,0)$（或 $(0,c)$，由方程知焦点在 $x$ 轴上），将其代入直线 $y=2x+10$ 得 $0=2c+10$，此时 $c=-5$？不对，直线是 $y=2x+10$，若焦点在 $x$ 轴上，令 $y=0$ 得 $2x+10=0⟹x=-5$，即焦点为 $(-5,0)$，所以 $c=5$。 由 $c^2=a^2+b^2$ 及 $b=2a$，得 $5^2=a^2+(2a{)}^2=5a^2$， 解得 $a^2=5$，则 $b^2=20$。 故双曲线方程为 $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线与焦点、基本量关系。

2. 核心方法：由渐近线斜率得 $\frac{b}{a}=2$，由焦点在直线上求 $c$，再用 $c^2=a^2+b^2$ 解。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 与 $c^2=a^2+b^2$。

2. 结论推广: 渐近线平行于 $y=2x$ 即 $\frac{b}{a}=2$。

3. 方法推广: 双曲线基本量问题用渐近线与焦点条件列方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-03 单-双曲线的渐近线
• 2015-上海卷文-12 填-双曲线的渐近线
• 2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线