2014-安徽卷文-10 单-向量数量积

本题导读

固定一组排列，按同位置同为 $\mathbf{a}$ 的个数 $k=0,1,2$ 分类，把内积和写成 $k$ 与 $\cos \theta$ 的函数。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为非零向量，$|\mathbf{b}|=2|\mathbf{a}|$，两组向量 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3,{\mathbf{x}}_4$ 和 ${\mathbf{y}}_1,{\mathbf{y}}_2,{\mathbf{y}}_3,{\mathbf{y}}_4$ 均由 $2$ 个 $\mathbf{a}$ 和 $2$ 个 $\mathbf{b}$ 排列而成，若 ${\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{y}}_1+{\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{y}}_2+{\mathbf{x}}_3\cdot {\mathbf{y}}_3+{\mathbf{x}}_4\cdot {\mathbf{y}}_4$ 所有可能取值中的最小值为 $4|\mathbf{a}{|}^2$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为()

A. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

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记 $$\begin{gathered} s=| \\ boldsymbola{|}^2 \end{gathered}$$、$t=\cos \theta$；求和式只依赖配对数 $k$，写出三个可能值再令最小值为 $4s$。

✅【答案】

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（B）$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $s=|\mathbf{a}{|}^2>0$，$t=\cos \theta$（$\theta$ 为夹角），则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=s$，$\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=4s$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2st$。 固定一组排列，设同位置同为 $\mathbf{a}$ 的位置有 $k$ 个（$k=0,1,2$），则同为 $\mathbf{b}$ 的也有 $k$ 个，混合位置各有 $2-k$ 个。求和 $ks+4ks+2(2-k)\cdot 2st=5ks+4(2-k)st$，$k=0,1,2$ 时分别为 $8st$，$5s+4st$，$10s$。 题设说明三者最小值为 $4s$：因 $10s>4s$，须 $8st=4s$（$t=\frac{1}{2}$）且 $5s+4st=7s>4s$ 成立。故 $\cos \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数量积

2. 核心方法：按配对位置数分类枚举

3. 避坑指南：三种取值 $8st$、$5s+4st$、$10s$ 都要与 $4s$ 比较，别只算 $k=0$ 一种；“最小值恰为 $4s$“包含两个条件：$8t=4$ 且其余取值不小于 $4s$，缺一会误选其他角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 排列组合与数量积结合的创新题：两组排列的逐位配对内积只依赖”同配对数 $k$”。

2. 结论推广: 推广：$2n$ 个位置各放 $n$ 个 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 时，内积和 $=(2n+1)ks+\cdots$ 型的多项式，仍按 $k$ 分类。

3. 方法推广: 处理”所有可能取值”类问题：找出决定取值的本质参数（这里是 $k$），再对参数分类。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义
• 2014-安徽卷理-15 填-数量积的最值