2014-山东卷文-16 解-分层抽样与概率

本题导读

(1) 1、3、2 件；(2) $P=\frac{C_3^2+C_2^2}{C_6^2}=\frac{4}{15}$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 海关对同时从 $A$，$B$，$C$ 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.

地区	$A$	$B$	$C$
数量	50	150	100

(1) 求这 6 件样品中来自 $A$，$B$，$C$ 各地区商品的数量；

(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.

🔍【思路分析】

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(1) 1、3、2 件；(2) $P=\frac{C_3^2+C_2^2}{C_6^2}=\frac{4}{15}$。

✅【答案】

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(1) 1 件、3 件、2 件 (2) $\frac{4}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 总数 $50+150+100=300$，抽样比 $\frac{6}{300}=\frac{1}{50}$。

$A$：$50\times \frac{1}{50}=1$；$B$：$150\times \frac{1}{50}=3$；$C$：$100\times \frac{1}{50}=2$。

(2) 从 6 件中任取 2 件，共 $C_6^2=15$ 种。

“来自相同地区”只能是同来自 $B$（3 件中取 2）或同来自 $C$（2 件中取 2）：$C_3^2+C_2^2=3+1=4$ 种。

$P=\frac{4}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样（按比例分配）；古典概型；组合数计算

2. 核心方法：抽样比 × 各层容量；“同一层取 2”分类型计数

3. 避坑指南：①$A$ 地区只有 1 件样品，不存在”同来自 $A$“的情形——分子只有 $C_3^2+C_2^2$，把 $C_1^2$ 也算进去就错了（它本来就是 0）；②分母是 $C_6^2=15$，别误用排列数 $A_6^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抽样 + 概率常规解答题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 5 题、2000 年上海卷理第 10 题同族。

2. 结论推广: 一般地，分层抽样各层样本数 = 抽样比 × 层容量；“取出的个体具有共同属性”的概率 = 各属性内部组合数之和 ÷ 总组合数。

3. 方法推广: 概率解答题标准路线：定样本空间（等可能）→ 按问句分类计数 → $P=\frac{m}{n}$ 并化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-05 单-古典概型
• 2000-上海卷理-10 填-古典概型