2014-山东卷理-17 解-直线与平面平行判定

本题导读

本题考查空间位置关系的证明及二面角的求解。第一问通过构造平行四边形证明线线平行，进而推导出线面平行；第二问利用二面角的定义寻找平面角，通过直角三角形中的边角关系求得余弦值。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，底面 $ABCD$ 是等腰梯形，$\angle DAB=60^{\circ }$，$AB=2CD=2$，$M$ 是线段 $AB$ 的中点.

(1) 求证：$C_{1}M\parallel$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$；

(2) 若 $C{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $C{D}_1=\sqrt{3}$，求平面 $C_1{D}_{1}M$ 和平面 $ABCD$ 所成的角（锐角）的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明线面平行
   • 要证 $C_{1}M\parallel$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$，只需在该平面内找一条直线与 $C_{1}M$ 平行。
   • 利用已知条件 $AB=2CD$ 且 $M$ 为中点，可得 $AM=CD$。
   • 结合四棱柱性质 $CD\parallel C_1{D}_1$ 且 $CD=C_1{D}_1$，构造平行四边形 $AM{C}_1{D}_1$。
   • 从而证明 $C_{1}M\parallel D_{1}A$，根据线面平行的判定定理得出结论。
2. 第二问：求二面角的余弦值
   • 寻找交线：平面 $C_1{D}_{1}M$ 即平面 $C_1{D}_{1}AB$（因 $D_1{C}_1\parallel AB$），它们与底面的交线为 $AB$。
   • 构造平面角：利用 $C{D}_1\perp$ 底面，过 $C$ 作 $CN\perp AB$ 于 $N$，连接 $D_{1}N$。根据三垂线定理，$D_{1}N\perp AB$，则 $\angle D_{1}NC$ 即为所求二面角的平面角。
   • 计算：在 $Rt△D_{1}CN$ 中求出各边长，计算余弦值。

✅【答案】

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所以 $C_{1}M\parallel$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$。；故平面 $C_1{D}_{1}M$ 和平面 $ABCD$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在等腰梯形 $ABCD$ 中，因为 $AB=2CD$ 且 $M$ 是 $AB$ 的中点， 所以 $AM=CD$。又因为 $AB\parallel CD$，所以 $AM\parallel CD$。 在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，有 $C_1{D}_1\parallel CD$ 且 $C_1{D}_1=CD$。 所以 $C_1{D}_1\parallel AM$ 且 $C_1{D}_1=AM$。 由此可得四边形 $AM{C}_1{D}_1$ 是平行四边形，故 $C_{1}M\parallel D_{1}A$。 又因为 $C_{1}M\not\subset$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$，$D_{1}A\subset$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$， 所以 $C_{1}M\parallel$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$。

(2) 解： 由(1)知，$C_1{D}_1\parallel AB$，故 $C_1,D_1,M,B,A$ 五点共面。 平面 $C_1{D}_{1}M$ 与底面 $ABCD$ 的交线为 $AB$。 过 $C$ 向 $AB$ 作垂线交 $AB$ 于 $N$。连接 $D_{1}N$。 因为 $C{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $C{D}_1\perp AB$。 又 $CN\perp AB$，且 $C{D}_1\cap CN=C$，故 $AB\perp$ 平面 $D_{1}CN$，从而 $AB\perp D_{1}N$。 所以 $\angle D_{1}NC$ 为二面角 $C_1-AB-C$ 的平面角。

在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AB=2,CD=1,\angle DAB=60^{\circ }$， 可求得 $BC=1$。在 $Rt△BNC$ 中，$\angle NBC=60^{\circ }$， 所以 $CN=BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 已知 $C{D}_1=\sqrt{3}$，在 $Rt△D_{1}CN$ 中： $D_{1}N=\sqrt{C{D}_1^2+C{N}^2}=\sqrt{3+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ 所以 $\cos \angle D_{1}NC=\frac{CN}{D_{1}N}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

故平面 $C_1{D}_{1}M$ 和平面 $ABCD$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定（内找线平行）；二面角的定义与计算。

2. 核心方法：三垂线定理是找二面角平面角最常用的工具。本题中 $C{D}_1$ 垂直于底面提供了极大的便利。

3. 避坑指南：第一问中要明确 $C_1,D_1,M$ 所成的平面关系。第二问计算 $CN$ 时，需准确利用等腰梯形的几何性质，不要将 $CN$ 错认为梯形的高（虽然此处恰好是）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间向量的坐标表示、线面角的正弦值与法向量夹角余弦值的关系。

2. 结论推广: 若直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

3. 方法推广: 求解二面角也可以建立空间直角坐标系，利用法向量夹角公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-18 解-直线与直线平行
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定
• 2013-江苏卷-16 解-面面平行判定