2014-山东卷理-18 解-分布列

本题导读

本题以乒乓球测试为背景，考查独立重复试验、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解。第一问侧重于独立事件同时发生的概率；第二问要求准确罗列所有可能的得分组合并计算对应概率。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图.甲上有两个不相交的区域 $A,B$，乙被划分为两个不相交的区域 $C,D$.某次测试要求队员接到落在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 $C$ 上记 $3$ 分，在 $D$ 上记 $1$ 分，其它情况记 $0$ 分.

对落点在 $A$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{2}$，在 $D$ 上的概率为 $\frac{1}{3}$； 对落点在 $B$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{5}$，在 $D$ 上的概率为 $\frac{3}{5}$.

假设共有两次来球且落在 $A,B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

(1) 小明的两次回球落点中恰有一次落在乙上的概率；

(2) 两次回球结束后，小明得分之和 $\xi$ 的分布列与数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • “落在乙上”意味着落点在 $C$ 或 $D$。
   • 算出对 $A$ 来球落在乙上的概率 $P(A_{\text{乙}})=P(A_C)+P(A_D)$。
   • 算出对 $B$ 来球落在乙上的概率 $P(B_{\text{乙}})=P(B_C)+P(B_D)$。
   • “恰有一次在乙上”包含两种互斥情况：$A$ 在乙且 $B$ 不在乙，或 $A$ 不在乙且 $B$ 在乙。
2. 第二问分析：
   • 确定取值范围：对 $A$ 来球得分 $X\in \{0,1,3\}$，对 $B$ 来球得分 $Y\in \{0,1,3\}$。
   • $\xi =X+Y$，可能的取值为 $0,1,2,3,4,6$（注意没有 $5$ 分的情况，因为 $2+3$ 不存在，$2$ 分只能由 $1+1$ 产生）。
   • 计算概率：针对每一个 $\xi$ 的值，列出所有可能的 $(X,Y)$ 组合并计算概率之和。
   • 写分布列与算期望：利用 $E(\xi )=\sum {\xi }_i{P}_i$ 计算。

✅【答案】

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则 $P(E_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$P({\bar{E}}_1)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 记对 $A$ 来球回球落在乙上为事件 $E_1$，对 $B$ 来球回球落在乙上为事件 $E_2$。 则 $P(E_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$P({\bar{E}}_1)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$； $P(E_2)=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$，$P({\bar{E}}_2)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。 恰有一次落在乙上的概率为： $P=P(E_1)P({\bar{E}}_2)+P({\bar{E}}_1)P(E_2)$ $=\frac{5}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{5}{30}+\frac{4}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$

(2) 解： $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4,6$。

• $P(\xi =0)=P(X=0,Y=0)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{30}$；
• $P(\xi =1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{1}{15}+\frac{3}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$；
• $P(\xi =2)=P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{1}{5}$；
• $P(\xi =3)=P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$；
• $P(\xi =4)=P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{1}{15}=\frac{11}{30}$；
• $P(\xi =6)=P(X=3,Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{10}$。

$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$
$P$	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{1}{10}$

数学期望 $E(\xi )=0\times \frac{1}{30}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{5}+3\times \frac{2}{15}+4\times \frac{11}{30}+6\times \frac{1}{10}$ $=0+\frac{5}{30}+\frac{12}{30}+\frac{12}{30}+\frac{44}{30}+\frac{18}{30}=\frac{91}{30}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的完整性（概率和为 $1$）。

2. 核心方法：分类列举法。求解分布列的关键是“不重不漏”，尤其在计算组合得分（如 $\xi =4$）时，要注意所有可能的构成方式。

3. 避坑指南：容易漏掉得分 $0$ 的情况；在计算期望时，建议统一分母再相加，可以有效减少计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 方差 $D(\xi )$ 的计算、二项分布。

2. 结论推广: 若 $\xi =X+Y$，且 $X,Y$ 独立，则 $E(\xi )=E(X)+E(Y)$。本题也可先分别求出 $X$ 和 $Y$ 的期望，再求和验证。

3. 方法推广: 面对复杂情境，可绘制树状图协助分析概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-08 填-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-江西卷理-18 解-分布列