2014-广东卷文-05 单-奇函数

本题导读

逐项验证 $f(-x)$ 与 $\pm f(x)$ 的关系。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 下列函数为奇函数的是()

A. $2^x-\frac{1}{2^x}$　　　　　B. $x^3\sin x$　　　　　C. $2\cos x+1$　　　　　D. $x^2+2x$

🔍【思路分析】

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用定义逐项检验 $f(-x)$；注意 $x^3\sin x$ 是「奇 × 奇 = 偶」，易误选 B。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

（A）$f(-x)=2^{-x}-2^x=-f(x)$，是奇函数。 （B）$f(-x)=(-x{)}^3\sin (-x)=x^3\sin x=f(x)$，是偶函数。 （C）$2\cos (-x)+1=2\cos x+1$，是偶函数。 （D）$f(-x)=x^2-2x$，非奇非偶。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性判定

2. 核心方法：定义法 $f(-x)=\pm f(x)$

3. 避坑指南：（A）把 $x$ 换成 $-x$ 后 $2^x$ 与 $2^{-x}$ 恰好互换，整理即得 $-f(x)$；两个奇函数之积是偶函数，别看到 $x^3$、$\sin x$ 都是奇的就误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 奇偶性判定基础题。

2. 结论推广: $\frac{a^x-1}{a^x+1}$、$\ln \frac{1+x}{1-x}$、$x\sin x$ 等是常见的奇/偶函数模型。

3. 方法推广: 奇偶性判定先看定义域是否对称，再算 $f(-x)$ 并化成 $\pm f(x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性
• 2015-北京卷文-3