2014-广东卷理-05 单-空间向量的夹角

本题导读

本题考查空间向量夹角的计算。通过向量夹角的余弦公式，利用向量坐标计算数量积与模，验证各选项向量与已知向量的夹角是否为 60°。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(1,0,-1)$，则下列向量中与 $\vec{a}$ 成 $60^{\circ }$ 夹角的是()

A. $(-1,1,0)$　B. $(1,-1,0)$　C. $(0,-1,1)$　D. $(-1,0,1)$

🔍【思路分析】

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1. 明确公式：两非零向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 满足：

   $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

2. 确定目标值：若 $\theta =60^{\circ }$，则 $\cos \theta =\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

3. 逐项验证：将各选项向量记为 $\vec{b}$，分别计算 $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 以及数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$，代入公式判断余弦值是否为 $\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\vec{a}=(1,0,-1)$，则 $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$。

验证选项：

• A 项：$\vec{b}=(-1,1,0)$

  $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times (-1)+0\times 1+(-1)\times 0=-1$

  $|\vec{b}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

  $\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$（此时 $\theta =120^{\circ }$），不符。

• B 项：$\vec{b}=(1,-1,0)$

  $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+0\times (-1)+(-1)\times 0=1$

  $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{2}$

  $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。因为 $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =60^{\circ }$，符合。

• C 项：$\vec{b}=(0,-1,1)$

  $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 0+0\times (-1)+(-1)\times 1=-1$

  $\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，不符。

• D 项：$\vec{b}=(-1,0,1)$

  可知 $\vec{b}=-\vec{a}$，其夹角为 $180^{\circ }$（反向），不符。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量夹角的坐标计算。

2. 核心方法：代入 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 逐项验证等于 $\frac{1}{2}$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量夹角余弦公式。

2. 结论推广: 夹角 $60^{\circ }$ 等价于数量积与模乘积比为 $\frac{1}{2}$。

3. 方法推广: 验证向量夹角直接算数量积与模。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角
• 2026-北京卷-06 单-向量的模
• 2015-上海卷文-13 填-向量的模