2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查含两个绝对值符号的不等式的解法。主要通过零点阵讨论或利用绝对值的几何意义（数轴上的距离之和）来确定解集。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 不等式$|x-1|+|x+2|\ge 5$的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 零点分段法：令每个绝对值内部为 $0$，得零点 $x=1$ 与 $x=-2$，把数轴分成 $(-\infty ,-2)$、$[-2,1]$、$(1,+\infty )$ 三段，逐段去绝对值讨论。
2. 几何意义法：$|x-1|+|x+2|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $1$ 与点 $-2$ 的距离之和，两点间距离为 $3$；要使距离之和不小于 $5$，点 $x$ 必须落在两端点的外侧。

✅【答案】

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$(-\infty ,-3]\cup [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：零点分段法

1. 当 $x<-2$ 时，原不等式化为 $-(x-1)-(x+2)\ge 5$，即 $-2x-1\ge 5$，解得 $x\le -3$，与 $x<-2$ 取交得 $x\le -3$。

2. 当 $-2\le x\le 1$ 时，原不等式化为 $-(x-1)+(x+2)\ge 5$，即 $3\ge 5$，不成立，故此段无解。

3. 当 $x>1$ 时，原不等式化为 $(x-1)+(x+2)\ge 5$，即 $2x+1\ge 5$，解得 $x\ge 2$，故此段解集为 $[2,+\infty )$。

综上，原不等式的解集为 $\{x\mid x\le -3\text{ 或 }x\ge 2\}$，即 $(-\infty ,-3]\cup [2,+\infty )$。

方法二：几何法 设数轴上 $A(-2)$、$B(1)$，则 $|x-1|+|x+2|=d(x,B)+d(x,A)$ 表示点 $x$ 到 $A$、$B$ 的距离之和，且 $AB=3$。

• 当 $x$ 在 $B$ 点右侧且到 $B$ 的距离为 $d$ 时，距离之和为 $d+(3+d)=2d+3$，令 $2d+3\ge 5$ 得 $d\ge 1$，即 $x\ge 2$；
• 当 $x$ 在 $A$ 点左侧且到 $A$ 的距离为 $d$ 时，同理得 $d\ge 1$，即 $x\le -3$。

故解集为 $(-\infty ,-3]\cup [2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含两个绝对值的不等式的解法，以及 $|x-a|+|x-b|$ 的几何意义。

2. 核心方法：零点分段法把数轴分段后逐段去绝对值求解；几何法把式子看成数轴上的距离之和，能快速定出端点。

3. 避坑指南：分段求解后必须与分段前提取交集；端点 $x=-2$、$x=1$ 归入相邻任一段都不影响结果，但不能漏算或重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值不等式的解法与绝对值的几何意义，是选做模块与不等式主干知识的交汇点。

2. 结论推广: 对 $|x-a|+|x-b|\ge c$，因最小值为 $|a-b|$，故当 $c\le |a-b|$ 时解集为 $\mathbb{R}$；当 $c>|a-b|$ 时解集为向两端延伸的两个闭区间（设 $a<b$，即 $\left(-\infty ,\frac{a+b-c}{2}\right]\cup \left[\frac{a+b+c}{2},+\infty \right)$）。

3. 方法推广: 零点分段法对任意多个绝对值都适用；绝对值个数为 $2$ 时用几何意义判断端点更快，个数为 $3$ 及以上时零点分段法更稳。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式