2014-广东卷理-14 填-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标坐标与直角坐标坐标的互化交点坐标。通过将极坐标及其坐标转化为直角坐标坐标，使复杂的极轨迹与极角关系转化为熟悉的平面解析几何问题。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） （坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线$C_1$和$C_2$的方程分别为$\rho {\sin }^2\theta =\cos \theta$和$\rho \sin \theta =1$以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为$x$轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则呈曲线形$C_1$和$C_2$的交点的直角坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标互化：利用极坐标与直角坐标的转换公式：

   $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$

2. 转化方程：

   • 对于$C_1$，观察难题结构，双肩同乘$\rho$构造出$\rho \sin \theta$和$\rho \cos \theta$。

   • 对于$C_2$，直接根据定义转化。

3. 联立坐标：将转化后的直角坐标坐标坐标，求出$x$和$y$。

✅【答案】

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$(1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将曲线方程化为直角坐标方程

• 圆形用$C_1$： 已知$\rho {\sin }^2\theta =\cos \theta$，双肩同乘以$\rho$得：

  ${\rho }^2{\sin }^2\theta =\rho \cos \theta$

  代入$y=\rho \sin \theta$和$x=\rho \cos \theta$：

  $y^2=x$

  （这是一条开口向右，边缘在原点的抛物线）

• 圆形用$C_2$： 已知$\rho \sin \theta =1$，直接代入$y=\rho \sin \theta$：

  $y=1$

  （这是一条平行于$x$轴的直线）

第二步：联立方程组求交点 将$y=1$代入抛物线方程$y^2=x$：

$1^2=x⟹x=1$

解得交点的直角坐标为$(1,1)$。

故答案为 $(1,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化求交点。

2. 核心方法：化 $C_1$ 为 $y^2=x$、$C_2$ 为 $y=1$，联立求交点。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$。

2. 结论推广: $\rho {\sin }^2\theta =\cos \theta$ 化为 $y^2=x$。

3. 方法推广: 极坐标求交点先统一为直角坐标再联立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化
• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-天津卷理-11 填-极坐标互化