2014-广东卷理-15 填-相似三角形

本题导读

本题考查平行线四边形中的截面积三角形及其性质。核心逻辑是利用平行线构造三角形，并通过线段比例推导出对应三角形的面积比。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） （几何论证选讲选做题）如图3，在平行四边形$ABCD$中，点$E$在$AB$上且$EB=2AE$，$AC$与$DE$交于点$F$，则$\frac{△CDF\text{ 的面积}}{△AEF\text{ 的面积}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用形平行线：在平行四边$ABCD$中，$AB//CD$且$AB=CD$。

2. 形状三角形：由于$AE//CD$，根据相似三角形判定理，可知$△AEF\sim △CDF$。

3. 寻找相似：利用已知条件$EB=2AE$和$AB=CD$，求出边对应$AE$与$CD$的比例。

4. 应用面积性质：相似三角形的面积比等于相似的平方。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求对应线段比例 在平行四边形$ABCD$中文：

$AB=CD$

已知点$E$在$AB$上，且$EB=2AE$，则有：

$AB=AE+EB=AE+2AE=3AE$

由此可得：

$CD=3AE⟹\frac{CD}{AE}=3$

第二步：判定三角形 因为$ABCD$是平行四边形，所以$AB//CD$。 从而得到$\angle EAF=\angle DCF$（内错角是否），$\angle AEF=\angle CDF$（内错角确实）。所以：

$△AEF\sim △CDF$

第三步：根据相似三角形的性质计算面积比 ，对应面积之比等于相似比的平方：

$\frac{S_{△CDF}}{S_{△AEF}}={\left(\frac{CD}{AE}\right)}^2$

代入比例关系：

$\frac{S_{△CDF}}{S_{△AEF}}=3^2=9$

故答案为 9

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行线构造相似三角形与面积比。

2. 核心方法：由 $CD=3AE$ 得 $△AEF\sim △CDF$，面积比为相似比平方 9。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 相似三角形判定与面积比等于相似比平方。

2. 结论推广: 相似三角形面积比等于对应边长比的平方。

3. 方法推广: 平行线构造相似后用比例求面积比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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