2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径

本题导读

$y^2=x$ 中 $p=\frac{1}{2}$，$|AF|=x_0+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}{x}_0\Rightarrow x_0=1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 已知抛物线 $C:y^2=x$ 的焦点为 $F$，$A(x_0,y_0)$ 是 $C$ 上一点，$|AF|=\frac{5}{4}{x}_0$，则 $x_0=$ ()

A. 4　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 8

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$y^2=x$ 中 $p=\frac{1}{2}$，$|AF|=x_0+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}{x}_0\Rightarrow x_0=1$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=2px=1$ 中 $p=\frac{1}{2}$，准线 $x=-\frac{1}{4}$。

由抛物线定义，$|AF|$ 等于 $A$ 到准线的距离：$|AF|=x_0+\frac{1}{4}$。

由 $x_0+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}{x}_0$ 得 $\frac{1}{4}{x}_0=\frac{1}{4}$，即 $x_0=1$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义（焦半径）

2. 核心方法：抛物线定义：$|AF|=x_0+\frac{p}{2}$（开口向右）

3. 避坑指南：先把 $y^2=x$ 化为 $y^2=2px$ 认清 $p=\frac{1}{2}$；焦半径是 $x_0+\frac{1}{4}$ 而不是 $x_0$，漏常数项就解错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线定义应用（doc 考点定位：抛物线），与 2014 年新课标Ⅰ理第 10 题同卷（理考焦点弦三角形面积）。

2. 结论推广: 一般地，$y^2=2px$ 上点 $A(x_0,y_0)$ 的焦半径 $|AF|=x_0+\frac{p}{2}$；比例式含 $x_0$ 时移项即解。

3. 方法推广: 凡”抛物线上的点到焦点距离”，第一步写准线，用定义转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义