2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘

本题导读

本题考查平面向量的线性运算与圆的几何性质。核心在于理解向量加法满足平行四边形法则，并结合外接圆的半径相等这一几何特征，判定平行四边形的对角线关系，进而确定夹角。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知 $A,B,C$ 为圆 $O$ 上的三点，若 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析向量关系：由 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ 可得 $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。
2. 利用中点性质：设 $BC$ 的中点为 $M$，则 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$。由此可知 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}$，即点 $O$ 与点 $M$ 重合。
3. 结合圆的几何特征：
   • 点 $O$ 是圆心，点 $M$ 是弦 $BC$ 的中点。
   • 若 $O$ 与 $M$ 重合，意味着圆心 $O$ 恰好落在弦 $BC$ 上，即 $BC$ 是圆 $O$ 的一条直径。
4. 判定夹角：根据直径所对的圆周角是直角，即可得出 $\angle BAC$ 的大小。

✅【答案】

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$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：向量转换 已知 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。 令 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$，根据向量加法的平行四边形法则，以 $AB,AC$ 为邻边的平行四边形 $ABDC$ 中，$\overrightarrow{AD}$ 为对角线向量。 题设等式变为 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。

第二步：几何位置判定 由 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ 可知，$O$ 是线段 $AD$ 的中点。 又因为 $O$ 是平行四边形 $ABDC$ 的中心（对角线交点），且 $O$ 同时也是圆的圆心。 在圆中，由于 $A,B,C$ 都在圆 $O$ 上，所以 $|OA|=|OB|=|OC|=R$（半径）。

第三步：判定形状与夹角 在平行四边形 $ABDC$ 中，对角线互相平分于点 $O$。 由于 $|OA|=|OB|=|OC|=R$，且 $O$ 是 $AD$ 中点，所以 $|OD|=R$。 这意味着 $|AD|=|BC|=2R$。 对角线相等的平行四边形是矩形。 既然 $ABDC$ 是矩形，则 $AB\perp AC$。 因此，向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为 $90^{\circ }$。

故答案为 $90^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量线性运算的平行四边形法则。 2. 几何直观：看到 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ 应当迅速反应出 $O$ 是对角线 $AD$ 的中心，进而联想到圆心位置。

2. 核心方法：利用中点性质与平行四边形法则，结合外接圆半径相等判定矩形。

3. 避坑指南：本题不需要进行复杂的坐标运算。利用“直径对直角”的初中几何常识结合向量语言即可快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量投影、四种中心（重心、垂心、外心、内心）的向量表示形式。

2. 结论推广: 若 $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$，且 $O$ 为外心，则该式与三角形的边长、角度存在特定的数量关系（如重心、垂心对应的向量系数特征）。

3. 方法推广: 涉及圆心与圆上点的向量问题，利用 $|OA|=|OB|=|OC|$ 构造等腰三角形或直角三角形是常用辅助手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-10 填-向量的加减法与数乘运算
• 2013-上海卷理-18 单-向量的加法
• 2013-重庆卷理-10 单-向量加减法