2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换

本题导读

展开后含 $\sin \phi \cos x$ 的两项恰好相消，$f(x)=\sin (x-\phi )$，最大值 1。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 函数 $f(x)=\sin (x+\phi )-2\sin \phi \cos x$ 的最大值为$\underline{}$.

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展开后含 $\sin \phi \cos x$ 的两项恰好相消，$f(x)=\sin (x-\phi )$，最大值 1。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

展开 $\sin (x+\phi )=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$：

$f(x)=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi -2\sin \phi \cos x=\sin x\cos \phi -\cos x\sin \phi =\sin (x-\phi )$。

所以 $f(x)$ 的最大值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和与差的正弦公式；三角函数的最值

2. 核心方法：展开 → 同类项合并（反用差角公式）

3. 避坑指南：展开后 $\cos x\sin \phi$ 与 $-2\sin \phi \cos x$ 合并系数是 $1-2=-1$，得 $-\sin \phi \cos x$，凑成 $\sin (x-\phi )$——系数差一个负号方向就错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角恒等变换题（doc 考点定位：三角恒等变换），与 2014 年新课标Ⅰ文第 2 题（同角关系定符号）同卷。

2. 结论推广: 一般地，$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\theta )$；本题的特殊结构使 $A^2+B^2=1$，最大值恰为 1。

3. 方法推广: 三角化简标准路径：和角展开 → 合并同类项 → 逆用公式化为单一函数 → 读最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式
• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象