2014-新课标II卷理-08 单-切线斜率的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。通过对函数求导并代入切点的横坐标，得到切线的斜率，再与已知切线方程的斜率建立等量关系，即可求出待定系数。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设曲线 $y=ax-\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2x$，则 $a=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解几何意义：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 等于曲线在该点处切线的斜率。
2. 提取已知斜率：从已知切线方程 $y=2x$ 中提取斜率 $k=2$。
3. 执行求导运算：利用求导公式 $(ax{)}^{\prime }=a$ 和 $[\ln (x+1){]}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$ 对原函数求导。
4. 建立等式求解：令 $f^{\prime }(0)=2$，解出 $a$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对函数求导 设 $f(x)=ax-\ln (x+1)$。 根据导数的运算法则： $f^{\prime }(x)=(ax{)}^{\prime }-[\ln (x+1){]}^{\prime }$ $f^{\prime }(x)=a-\frac{1}{x+1}$

第二步：利用切线斜率建立方程 由题意知，曲线在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2x$，故切线斜率 $k=2$。 根据导数的几何意义，有： $f^{\prime }(0)=2$ 代入求导结果： $a-\frac{1}{0+1}=2$ $a-1=2$

第三步：得出结论 解得： $a=3$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义及切线斜率的求解。

2. 核心方法：求导得 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(0)$ 等于已知切线斜率解出参数 $a$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数 $f^{\prime }(x_0)$ 等于曲线在 $x_0$ 处切线斜率的几何意义。

2. 结论推广: 已知切点与切线方程可反求导函数中的待定系数。

3. 方法推广: 面对更复杂的函数（如 $e^x,\sin x$ 组合），求导步骤相同，重点在于导数公式的熟练度。 3. 知识关联: 切线问题是导数大题的第一问常客，掌握好几何意义是后续研究函数单调性和极值的基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2015-广东卷文-15 填-圆的切线
• 2015-山东卷文-13 填-圆的切线