2014-江西卷文-10 单-函数图象

本题导读

先讨论 $a=0$ 的特例；当 $a\ne 0$ 时，比较抛物线对称轴 $x=\frac{1}{2a}$ 与三次函数极值点 $\frac{1}{3a}$、$\frac{1}{a}$ 的位置关系。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 在同一直角坐标系中，函数 $y=a{x}^2-x+\frac{a}{2}$ 与 $y=a^2{x}^3-2a{x}^2+x+a$（$a\in \mathbf{R}$）的图象不可能的是()

🔍【思路分析】

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对三次函数求导得 $y\acute{=}3a^2{x}^2-4ax+1$，其零点为 $\frac{1}{3a}$、$\frac{1}{a}$；抛物线对称轴为 $\frac{1}{2a}$，看它是否落在两极值点之间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $a=0$ 时，$y=a{x}^2-x+\frac{a}{2}$ 化为 $y=-x$（第二、四象限的角平分线），$y=a^2{x}^3-2a{x}^2+x+a$ 化为 $y=x$（第一、三象限的角平分线），对应 D 项情形，是可能的。 当 $a\ne 0$ 时，$y=a{x}^2-x+\frac{a}{2}$ 是抛物线，对称轴为 $x=\frac{1}{2a}$；对 $y=a^2{x}^3-2a{x}^2+x+a$ 求导得 $y\acute{=}3a^2{x}^2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1)$，令 $y\acute{=}0$ 得两个极值点 $x=\frac{1}{3a}$ 与 $x=\frac{1}{a}$。 当 $a>0$ 时 $\frac{1}{3a}<\frac{1}{2a}<\frac{1}{a}$；当 $a<0$ 时 $\frac{1}{a}<\frac{1}{2a}<\frac{1}{3a}$。即无论 $a$ 的正负，抛物线的对称轴总介于三次函数的两个极值点之间。 B 项图象中，对称轴落在三次函数两个极值点之外，与该结构特征矛盾，不可能出现；A、C 项（对应 $a>0$）与该特征一致，可以实现。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数与三次函数的图象特征

2. 核心方法：比较对称轴与极值点的位置关系

3. 避坑指南：抛物线对称轴 $x=\frac{1}{2a}$ 恒介于三次函数的两极值点 $\frac{1}{3a}$、$\frac{1}{a}$ 之间；此外必须单独讨论 $a=0$（此时两图象退化为两条直线）的情形，漏掉 $a=0$ 是本类题的主要失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参二次函数与三次函数图象的匹配判断。

2. 结论推广: $y=3a^2{x}^2-4ax+1$ 的零点为 $x=\frac{1}{3a}$ 与 $x=\frac{1}{a}$，即三次函数的两个极值点。

3. 方法推广: 图象匹配题从结构特征入手：开口方向、对称轴或极值点的位置、与坐标轴交点的先后顺序，逐条排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-11 单-极值
• 2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式