2014-江西卷文-13 填-等差数列

本题导读

「当且仅当 $n=8$ 时 $S_n$ 最大」等价于 $a_8>0$ 且 $a_9<0$，由此解出 $d$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=7$，公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，当且仅当 $n=8$ 时 $S_n$ 取最大值，则 $d$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$a_8=7+7d$，$a_9=7+8d$。

✅【答案】

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$\left(-1,-\frac{7}{8}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$S_n=7n+\frac{n(n-1)}{2}d$ 是关于 $n$ 的二次函数。要使 $S_n$ 在 $n=8$ 处且仅在 $n=8$ 处取得最大值，$S_n$ 必须在此处「由增转减」，即 $a_8>0$ 且 $a_9<0$。 由 $a_8=7+7d>0$ 得 $d>-1$；由 $a_9=7+8d<0$ 得 $d<-\frac{7}{8}$。 所以 $d\in \left(-1,-\frac{7}{8}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和的最大值

2. 核心方法：转化为通项的正负分界

3. 避坑指南：$S_n$ 取最大值等价于 $a_n>0$ 且 $a_{n+1}<0$；「当且仅当 $n=8$」意味着 $a_8>0$、$a_9<0$ 严格成立——若取等号会出现 $S_7=S_8$ 或 $S_8=S_9$，就不满足「当且仅当」。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列前 $n$ 项和的最值问题。

2. 结论推广: $a_1>0$ 且 $d<0$ 时，$S_n$ 的最大值在最后一个正项处取得，即 $n$ 满足 $a_n>0>a_{n+1}$。

3. 方法推广: 把「$S_n$ 的二次函数最值」转化为「正负项的分界」，比用对称轴更快，也天然处理了「当且仅当」的严格性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷理-12 填-等差数列性质
• 2014-江西卷理-18 解-等差数列定义与通项公式