2014-江西卷文-17 解-数列通项

本题导读

(1) 用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 并检验 $n=1$；(2) 由 $a_n^2=a_1{a}_m$ 反解出 $m$，再证明它是正整数。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{3n^2-n}{2}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：对任意 $n>1$，都有 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，使得 $a_1$，$a_n$，$a_m$ 成等比数列.

🔍【思路分析】

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(1) 先算 $a_1=S_1$，再算 $n⩾2$ 时的差；(2) 令 $a_m=\frac{a_n^2}{a_1}$ 求出 $m$。

✅【答案】

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(1) $a_n=3n-2$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=\frac{3-1}{2}=1$。 当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{3n^2-n}{2}-\frac{3(n-1{)}^2-(n-1)}{2}=\frac{3n^2-n-\left(3n^2-7n+4\right)}{2}=\frac{6n-4}{2}=3n-2$。 $n=1$ 时 $3\times 1-2=1$ 也满足，故 $a_n=3n-2$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 (2) 取 $m=3n^2-4n+2$。 因为 $n>1$ 即 $n⩾2$，所以 $m=n(3n-4)+2⩾2\times 2+2=6>0$，且 $m$ 为整数，故 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。 此时 $a_1=1$，$a_n=3n-2$，且 $a_m=3m-2=3(3n^2-4n+2)-2=9n^2-12n+4=(3n-2{)}^2$。 于是 $a_n^2=(3n-2{)}^2=a_1\cdot a_m$，即 $a_1$，$a_n$，$a_m$ 成等比数列。 所以对任意 $n>1$，都存在 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 使 $a_1$，$a_n$，$a_m$ 成等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 求通项、等比中项的证明

2. 核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 且检验 $n=1$

3. 避坑指南：(2) 是存在性证明，必须给出 $m$ 的表达式并说明 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$；只写「存在」而不给出 $m$ 的具体形式不算完成证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列通项与等比中项的证明题。

2. 结论推广: 「$a$，$b$，$c$ 成等比数列」等价于 $b^2=ac$（三数均不为 $0$）。

3. 方法推广: 存在性证明的标准写法：先由待证等式解出待定量的表达式，再验证它落在允许范围内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2014-北京卷理-12 填-等差数列性质