2014-江西卷理-03 单-复合函数

本题导读

本题考查复合函数的求值问题。重点在于理解复合函数的层级结构，通过已知函数值反推中间变量，进而求出参数 $a$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=5^{|x|}$，$g(x)=a{x}^2-x$ ($a\in \mathbb{R}$).若 $f[g(1)]=1$，则 $a=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 外层剥离：根据 $f[g(1)]=1$ 及指数函数 $f(x)=5^{|x|}$ 的定义，反求出内层函数值 $g(1)$。
2. 内层代入：将 $x=1$ 代入 $g(x)$ 的解析式中，得到含参表达式。
3. 建立方程：令含参表达式等于求出的 $g(1)$ 的值，解出参数 $a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由外层函数 $f(x)$ 确定 $g(1)$ 的值 已知 $f(x)=5^{|x|}$，且 $f[g(1)]=1$。 即 $5^{|g(1)|}=1$。 根据指数函数性质，当底数不为 1 时，幂为 1 则指数必为 0， 所以 $|g(1)|=0$，即 $g(1)=0$。

第二步：由内层函数 $g(x)$ 建立关于 $a$ 的方程 已知 $g(x)=a{x}^2-x$， 将 $x=1$ 代入得： $g(1)=a\cdot 1^2-1=a-1$。

第三步：求解方程 结合前两步得： $a-1=0$ 解得 $a=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数 $f(g(x))$ 的运算逻辑。解题时需分清层级，通常采用“由外及内”的策略。

2. 核心方法：方程思想。将函数值的问题转化为代数方程求解。

3. 避坑指南：注意指数函数 $a^x=1$ ($a>0,a\ne 1$) 的隐含条件是 $x=0$。本题中由于有绝对值符号，应先判定 $|g(1)|=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数函数定点性质、二次函数在定点处的取值。

2. 结论推广: 若 $f[g(x)]$ 是常数，往往可以通过 $f(x)$ 的单调性或特殊值（如零点、截距）来锁定 $g(x)$ 的取值。

3. 方法推广: 在处理复杂的复合函数方程 $f(g(h(x)))=k$ 时，可采用换元法，令 $t=h(x),u=g(t)$，逐层剥离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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