2014-江西卷理-09 单-相切

本题导读

本题考查圆与直线的位置关系以及圆锥曲线定义的综合应用。通过分析圆心到原点的距离与圆心到已知直线距离的关系，巧妙地将问题转化为抛物线定义模型，从而求出半径的最小值。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 在平面直角坐标系中，$A,B$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点，若以 $AB$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为()

A. $\frac{4}{5}\pi$　　　　　　B. $\frac{3}{4}\pi$　　　　　　C. $(6-2\sqrt{5})\pi$　　　　　　D. $\frac{5}{4}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何关系：由于 $A,B$ 在坐标轴上，$△OAB$ 是直角三角形，$AB$ 是斜边。圆心 $C$ 是 $AB$ 的中点。
2. 半径属性：在 $Rt△OAB$ 中，斜边中线 $OC$ 等于斜边一半。故圆 $C$ 的半径 $r=|OC|=\frac{1}{2}|AB|$。
3. 相切条件：圆 $C$ 与直线 $l:2x+y-4=0$ 相切，意味着圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 等于半径 $r$。
4. 轨迹转化：结合以上两点，得到 $|OC|=d(C,l)$。根据抛物线的定义（到定点距离等于到定直线距离），圆心 $C$ 的轨迹是以原点 $O(0,0)$ 为焦点，以直线 $l$ 为准线的抛物线。
5. 最值求解：要求面积最小值，即求半径 $r$ 的最小值。由定义知，$r$ 的最小值即焦点 $O$ 到准线 $l$ 距离的一半。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定半径与圆心的关系 设 $A(x_A,0)$，$B(0,y_B)$。 圆心 $C$ 为 $AB$ 中点，坐标为 $(\frac{x_A}{2},\frac{y_B}{2})$。 因为 $\angle AOB=90^{\circ }$，由直角三角形斜边中线性质知： 圆 $C$ 的半径 $r=|OC|=\sqrt{(\frac{x_A}{2}{)}^2+(\frac{y_B}{2}{)}^2}$。

第二步：利用相切条件列式 圆 $C$ 与直线 $l:2x+y-4=0$ 相切， 所以圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 $d=r$。 即：$|OC|=d(C,l)$。

第三步：寻找半径最小值 根据抛物线定义，圆心 $C$ 的轨迹是以原点 $O(0,0)$ 为焦点，直线 $l$ 为准线的抛物线。 半径 $r$ 即为抛物线上一点到焦点的距离。 由几何性质可知，当圆心 $C$ 位于过焦点 $O$ 且垂直于准线 $l$ 的直线上（即抛物线的顶点处）时，$r$ 取得最小值。 $r_{min}=\frac{1}{2}d(O,l)$。 利用点到直线距离公式计算原点 $O$ 到直线 $2x+y-4=0$ 的距离 $d_{O-l}$： $d_{O-l}=\frac{|2(0)+1(0)-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$。 所以，$r_{min}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。

第四步：计算面积最小值 $S_{min}=\pi r_{min}^2=\pi {\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{4}{5}\pi$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三角形中线的性质（$r=|OC|$）与抛物线定义（$|OC|=d$）的无缝衔接。

2. 核心方法：定义法。若能识别出轨迹模型，可以避免繁琐的代数运算（如设坐标联立判别式等）。

3. 避坑指南：本题易错点在于无法建立 $|OC|$ 与 $r$ 的联系，或者试图直接用代数方法强行计算，导致运算量过大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的切线方程、抛物线的顶点性质。

2. 结论推广: 若定点在两互相垂直的动线上运动，其中点到原点距离恒定为定值。本题中原点即为定点。

3. 方法推广: 动点到定点距离与到定直线距离的比值为常数 $e$ 时，轨迹为圆锥曲线。本题 $e=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-11 填-直线和圆相切
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切