2014-江西卷理-18 解-等差数列定义与通项公式

本题导读

本题考查等差数列的判定及其通项公式的求解，以及“等差乘等比”型数列的前 $n$ 项和。第一问通过对递推式进行除法变形构造等差数列；第二问利用错位相减法解决经典的求和问题。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 已知首项都是 1 的两个数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ ($b_n\ne 0,n\in {\mathbb{N}}^{+}$)，满足 $a_n{b}_{n+1}-a_{n+1}{b}_n+2b_{n+1}{b}_n=0$.

(1) 令 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $b_n=3^{n-1}$，求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：观察递推式 $a_n{b}_{n+1}-a_{n+1}{b}_n+2b_{n+1}{b}_n=0$，为了出现 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ 的形式，两边同时除以 $b_n{b}_{n+1}$，整理得到 $c_{n+1}-c_n=d$ 的形式，判定其为等差数列并求出通项。
2. 第二问：利用 $a_n=c_n{b}_n$ 写出 $\{a_n\}$ 的通项公式。发现 $a_n=(2n-1)\cdot 3^{n-1}$，这符合“等差数列 $\times$ 等比数列”的特征，应采用错位相减法求和。

✅【答案】

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故 $c_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$。；则 $S_n=1\cdot 3^0+3\cdot 3^1+5\cdot 3^2+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1}$ ①

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为 $a_n{b}_{n+1}-a_{n+1}{b}_n+2b_{n+1}{b}_n=0$，且 $b_n\ne 0,b_{n+1}\ne 0$， 方程两边同时除以 $b_n{b}_{n+1}$ 得： $\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}+2=0$ 整理得：$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_n}{b_n}=2$。 由 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ 可知，$c_{n+1}-c_n=2$。 又 $c_1=\frac{a_1}{b_1}=\frac{1}{1}=1$。 所以数列 $\{c_n\}$ 是以 $c_1=1$ 为首项， $d=2$ 为公差的等差数列。 故 $c_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$。

(2) 解： 由 $b_n=3^{n-1}$ 及 $c_n=2n-1$ 得： $a_n=c_n\cdot b_n=(2n-1)\cdot 3^{n-1}$。 则 $S_n=1\cdot 3^0+3\cdot 3^1+5\cdot 3^2+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1}$ ① $3S_n=1\cdot 3^1+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\cdots +(2n-1)\cdot 3^n$ ② ① - ② 得： $-2S_n=1+2(3^1+3^2+\cdots +3^{n-1})-(2n-1)\cdot 3^n$ $-2S_n=1+2\cdot \frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}-(2n-1)\cdot 3^n$ $-2S_n=1-3(1-3^{n-1})-(2n-1)\cdot 3^n$ $-2S_n=1-3+3^n-(2n-1)\cdot 3^n$ $-2S_n=-2+[1-(2n-1)]\cdot 3^n$ $-2S_n=-2-(2n-2)\cdot 3^n$ 两边同除以 $-2$ 得： $S_n=1+(n-1)\cdot 3^n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：构造法判定等差数列；错位相减法求和的规范步骤。

2. 核心方法：错位相减法。关键点在于“错位”和“中间部分等比数列求和”的准确性。

3. 避坑指南：在求 $-2S_n$ 的过程中，第一项和最后一项往往不参与中间的等比数列求和，容易在项数（$n-1$ 还是 $n$）上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列求和公式、裂项相消法求和。

2. 结论推广: 若 $a_n=f(n)g(n)$，其中 $f(n)$ 为 $n$ 的一次函数，$g(n)$ 为等比数列，则必可用错位相减法。

3. 方法推广: 类似的递推变形还有取对数、倒数等构造方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项