2014-浙江卷理-13 填-可行域与目标函数

本题导读

本题考查线性规划中的恒成立问题。通过确定不等式组表示的平面区域（可行域），将目标函数的恒成立条件转化为区域内所有点均满足该不等式，实质上是要求可行域整体落在由两条平行线组成的带状区域内。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 当实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+2y-4\le 0\\ x-y-1\le 0\\ x\ge 1\end{array}$ 时，$1\le ax+y\le 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在直角坐标系中画出三个线性不等式对应的直线，并确定它们围成的封闭区域。
2. 求出顶点坐标：解方程组求出区域的三个顶点 $A,B,C$。
3. 转化恒成立条件：要使 $1\le ax+y\le 4$ 对区域内所有点恒成立，由于目标函数 $z=ax+y$ 是线性的，其最大值和最小值必在顶点处取得。因此，只需所有顶点均满足该不等式即可。
4. 建立不等式组求解：将三个顶点坐标代入 $1\le ax+y\le 4$，解关于 $a$ 的不等式组，取交集。

✅【答案】

点击查看答案

$[1,\frac{3}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域及其顶点 由不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2y-4=0\\ x-y-1=0\\ x=1\end{array}$ 可解得顶点：

• $A$: 由 $\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ x=1\end{array}$ 得 $A(1,0)$；
• $B$: 由 $\{\begin{array}{l}x+2y-4=0\\ x-y-1=0\end{array}$ 得 $B(2,1)$；
• $C$: 由 $\{\begin{array}{l}x+2y-4=0\\ x=1\end{array}$ 得 $C(1,\frac{3}{2})$。 可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。


第二步：代入顶点建立不等式组 要使 $1\le ax+y\le 4$ 恒成立，需满足： $\{\begin{array}{l}1\le a\times 1+0\le 4\\ 1\le a\times 2+1\le 4\\ 1\le a\times 1+\frac{3}{2}\le 4\end{array}$ 化简得： $\{\begin{array}{l}1\le a\le 4\\ 0\le 2a\le 3⟹0\le a\le \frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\le a\le \frac{5}{2}\end{array}$

第三步：求交集 综合以上条件： $a\in [1,4]\cap [0,\frac{3}{2}]\cap [-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$ 解得 $1\le a\le \frac{3}{2}$。

【答案】 $[1,\frac{3}{2}]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中目标函数恒成立的参数范围

2. 核心方法：顶点法，用凸多边形区域的顶点代入判定恒成立。

3. 避坑指南：解不等式组时要细心，尤其是分数运算，最后务必取所有条件的交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的最优解。

2. 结论推广: 若目标函数含参，如 $z=ax+by$，则恒成立问题往往涉及区域的边界斜率。

3. 方法推广: 面对非线性目标函数的恒成立问题，通常需要结合几何意义（如距离、斜率、圆心距等）进行分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-15 填-可行域与可行解
• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数