2014-湖北卷理-14 填-新定义型问题

本题导读

本题属于新定义探究题。通过给定点与 $x$ 轴交点的几何关系定义了一种新的“平均数”，要求考生逆向构造满足特定平均数形式的函数 $f(x)$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty )$ 上的函数，且 $f(x)>0$.对任意 $a>0,b>0$，若经过点 $(a,f(a))$，$(b,-f(b))$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c,0)$，则称 $c$ 为 $a,b$ 关于函数 $f(x)$ 的平均数，记为 $M_f(a,b)$.例如，当 $f(x)=1(x>0)$ 时，可得 $M_f(a,b)=c=\frac{a+b}{2}$，即 $M_f(a,b)$ 为 $a,b$ 的算术平均数.

(1) 当 $f(x)=$ $\underline{}$ $(x>0)$ 时，$M_f(a,b)$ 为 $a,b$ 的几何平均数 $\sqrt{ab}$；

(2) 当 $f(x)=$ $\underline{}$ $(x>0)$ 时，$M_f(a,b)$ 为 $a,b$ 的调和平均数 $\frac{2ab}{a+b}$.

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立通用模型：根据三点 $(a,f(a))$，$(b,-f(b))$，$(c,0)$ 共线，利用斜率相等列出方程： $\frac{0-f(a)}{c-a}=\frac{-f(b)-0}{b-c}$ 整理得：$cf(b)-bf(a)=af(b)-cf(a)⟹c(f(a)+f(b))=af(b)+bf(a)$ 得出 $c$ 的表达式：$c=\frac{af(b)+bf(a)}{f(a)+f(b)}$。
2. 第一问（几何平均数）：令 $c=\sqrt{ab}$，代入上述模型寻找 $f(x)$。
3. 第二问（调和平均数）：令 $c=\frac{2ab}{a+b}$，代入上述模型寻找 $f(x)$。
4. 技巧：观察结构特征进行函数构造（通常为幂函数 $f(x)=x^n$）。

✅【答案】

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(1) $\sqrt{x}$；(2)$x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：导出通用关系式 由三点共线可得： $\frac{f(a)}{c-a}=\frac{-f(b)}{c-b}⟹f(a)(c-b)=-f(b)(c-a)$ 整理得：$c[f(a)+f(b)]=af(b)+bf(a)⟹c=\frac{af(b)+bf(a)}{f(a)+f(b)}$

第二步：求解第一问 已知 $c=\sqrt{ab}$，代入上式： $\sqrt{ab}=\frac{af(b)+bf(a)}{f(a)+f(b)}$ $\sqrt{ab}f(a)+\sqrt{ab}f(b)=af(b)+bf(a)$ 提取公因式：$(\sqrt{ab}-b)f(a)=(a-\sqrt{ab})f(b)$ $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})f(a)=\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})f(b)$ $\frac{f(a)}{\sqrt{a}}=\frac{f(b)}{\sqrt{b}}$ 由于该等式对任意 $a,b$ 恒成立，设 $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=k(k>0)$。 取最简情况 $k=1$，得 $f(x)=\sqrt{x}$（答案不唯一，满足 $f(x)=k\sqrt{x}$ 即可）。

第三步：求解第二问 已知 $c=\frac{2ab}{a+b}$，代入关系式： $\frac{2ab}{a+b}=\frac{af(b)+bf(a)}{f(a)+f(b)}$ $2abf(a)+2abf(b)=(a+b)[af(b)+bf(a)]=a^{2}f(b)+abf(a)+abf(b)+b^{2}f(a)$ 整理得：$abf(a)+abf(b)=a^{2}f(b)+b^{2}f(a)$ $(ab-b^2)f(a)=(a^2-ab)f(b)$ $b(a-b)f(a)=a(a-b)f(b)$ $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ 设 $\frac{f(x)}{x}=k(k>0)$，取最简情况 $k=1$，得 $f(x)=x$。

故答案为 (1)$\sqrt{x}$；(2)$x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义“平均数”与函数构造

2. 核心方法：由三点共线导出 $c=\frac{af(b)+bf(a)}{f(a)+f(b)}$，令 $c=\sqrt{ab}$、$c=\frac{2ab}{a+b}$ 反解 $f(x)$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 算术、几何、调和平均数的函数刻画

2. 结论推广: $f(x)=\sqrt{x}$ 对应几何平均，$f(x)=x$ 对应调和平均。

3. 方法推广: 可迁移到新定义函数与逆向构造类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2013-四川卷理-07 单-定义域
• 2026-新高考I卷-19 解-新定义函数