2014-湖南卷文-17 解-统计概率

本题导读

(1) 统计甲乙各自的成功次数算平均与方差；(2) 用(1)中的频率当作概率，按「甲成乙败 + 甲败乙成」求和。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：$(a,b)$，$(a,\bar{b})$，$(a,b)$，$(\bar{a},b)$，$(\bar{a},\bar{b})$，$(a,b)$，$(a,b)$，$(a,\bar{b})$，$(\bar{a},b)$，$(a,\bar{b})$，$(\bar{a},\bar{b})$，$(a,b)$，$(a,\bar{b})$，$(\bar{a},b)$，$(a,b)$.其中 $a$，$\bar{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b$，$\bar{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败.

(1) 若某组成功研发一种新产品，则给该组记 $1$ 分，否则记 $0$ 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

(2) 若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.

🔍【思路分析】

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15 组数据中甲成功 $10$ 次、乙成功 $9$ 次。

✅【答案】

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(1) 甲组平均数 $\frac{2}{3}$、方差 $\frac{2}{9}$，乙组平均数 $\frac{3}{5}$、方差 $\frac{6}{25}$，甲组研发水平较高；(2) $\frac{7}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $15$ 组结果中，甲组研发成功 $10$ 次、失败 $5$ 次，乙组成功 $9$ 次、失败 $6$ 次（每组成功后记 $1$ 分，失败记 $0$ 分）。 甲组成绩的平均数 ${\bar{x}}_1=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，方差 $s_1^2=\frac{1}{15}\left[10{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2+5{\left(0-\frac{2}{3}\right)}^2\right]=\frac{2}{9}$。 乙组成绩的平均数 ${\bar{x}}_2=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$，方差 $s_2^2=\frac{1}{15}\left[9{\left(1-\frac{3}{5}\right)}^2+6{\left(0-\frac{3}{5}\right)}^2\right]=\frac{6}{25}$。 因为 ${\bar{x}}_1>{\bar{x}}_2$，且两组方差都较小，所以甲组的研发水平更高。 (2) 用频率估计概率，记甲组研发成功为事件 $A$，则 $P(A)=\frac{2}{3}$；乙组研发成功为事件 $B$，则 $P(B)=\frac{3}{5}$。两组各自独立研发，恰有一组成功的概率为 $P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{4}{15}+\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平均数、方差与频率估计概率

2. 核心方法：用样本频率估计概率

3. 避坑指南：先把 15 组数据逐项核对出甲乙各自的成功次数（甲 $10$ 次、乙 $9$ 次），再算平均数与方差；用频率估计概率时，甲成功 $\frac{2}{3}$、乙成功 $\frac{3}{5}$，恰有一组成功为 $\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{7}{15}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 样本特征数与用频率估计概率。

2. 结论推广: 0-1 型成绩的方差 $s^2=p(1-p)$，本题甲 $p=\frac{2}{3}$ 得 $s^2=\frac{2}{9}$，乙 $p=\frac{3}{5}$ 得 $s^2=\frac{6}{25}$。

3. 方法推广: 「恰有一组成功」用互斥事件的概率加法：$P=$ 甲成乙败 $+$ 甲败乙成，各事件用独立乘法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计
• 2014-北京卷理-16 解-样本估计总体的比例