2014-湖南卷文-21 解-导数零点

本题导读

(1) 求导 $f\acute{(}x)=-x\sin x$；(2) 先确定每个零点所在区间，再把 $\frac{1}{x_i^2}$ 放缩为可求和的形式。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x+1$（$x>0$）.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 记 $x_i$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i$（$i\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）个零点，证明：对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，有 $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots +\frac{1}{x_n^2}<\frac{2}{3}$.

🔍【思路分析】

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(1) $f\acute{(}x)=-x\sin x$；(2) $x_1=\frac{\pi }{2}$，$x_i>2(i-1)\pi (i⩾2)$。

✅【答案】

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(1) 递减区间 $\left(2k\pi ,(2k+1)\pi \right)$，递增区间 $\left((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi \right)$（$k\in \mathbf{N}$）；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f\acute{(}x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x$。当 $x>0$ 时 $f\acute{(}x)$ 的符号由 $-\sin x$ 决定：在 $\left(2k\pi ,(2k+1)\pi \right)$ 上 $\sin x>0$，$f\acute{(}x)<0$，$f(x)$ 递减；在 $\left((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi \right)$ 上 $\sin x<0$，$f\acute{(}x)>0$，$f(x)$ 递增（$k\in \mathbf{N}$）。 (2) 由 (1)，$f$ 在 $[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$ 上先递减后（下一段）递增，且 $f(2k\pi )=2k\pi +1>0$，$f((2k+1)\pi )=-(2k+1)\pi +1<0$，$f((2k+2)\pi )=(2k+2)\pi +1>0$。 故 $f$ 在每个区间 $\left(2k\pi ,(2k+1)\pi \right)$ 内恰有一个零点，即 $x_i\in \left(2(i-1)\pi ,(2i-1)\pi \right)$。 当 $i=1$ 时，$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}+1=0-1+1=0$，故 $x_1=\frac{\pi }{2}$。 当 $i⩾2$ 时，$x_i>2(i-1)\pi$，故 $\frac{1}{x_i^2}<\frac{1}{4(i-1{)}^2{\pi }^2}$。于是 ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}<\frac{4}{{\pi }^2}+{\sum }_{i=2}^n\frac{1}{4(i-1{)}^2{\pi }^2}<\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}{\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{1}{j^2}=\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{1}{24}$。 因为 $\pi >3$，所以 $\frac{4}{{\pi }^2}<\frac{4}{9}$，从而 $\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{1}{24}<\frac{4}{9}+\frac{1}{24}=\frac{35}{72}<\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$，即 ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}<\frac{2}{3}$ 对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与零点、数列不等式的放缩

2. 核心方法：单调区间定零点位置后放缩求和

3. 避坑指南：(1) $f\acute{(}x)=-x\sin x$，符号只由 $\sin x$ 决定；(2) 先定零点所在区间 $x_i\in (2(i-1)\pi ,(2i-1)\pi )$，特别地 $x_1=\frac{\pi }{2}$，再用 $\frac{1}{x_i^2}<\frac{1}{4(i-1{)}^2{\pi }^2}$ 与 $\sum \frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ 放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含三角函数的导数与零点、级数放缩不等式。

2. 结论推广: $f\acute{(}x)=-x\sin x$（$x>0$）；零点满足 $x\cos x=\sin x-1⩽0$，故 $\cos x⩽0$。

3. 方法推广: 「零点倒数的平方和小于常数」型不等式的通法：用零点所在区间给出 $x_i$ 的下界，把求和放缩为可求和的典型级数（如 $\sum 1/i^2={\pi }^2/6$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性
• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线