2014-湖南卷理-03 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数奇偶性的定义及其在代数式求值中的应用。通过给定混合函数的表达式，利用对称位置的自变量取值建立方程组，从而解得特定函数值。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 已知 $f(x),g(x)$ 分别是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数和奇函数，且 $f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$，则 $f(1)+g(1)=$ ()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性性质：
   • 偶函数满足 $f(-x)=f(x)$；
   • 奇函数满足 $g(-x)=-g(x)$。
2. 构建方程组：
   • 令 $x=1$，代入原式得到关于 $f(1)$ 和 $g(1)$ 的第一个方程。
   • 令 $x=-1$，代入原式并利用奇偶性转化，得到关于 $f(1)$ 和 $g(1)$ 的第二个方程。
3. 求解：通过联立方程组直接求出 $f(1)+g(1)$ 的值，或分别解出 $f(1)$ 和 $g(1)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知 $f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$。 第一步：代入 $x=1$ $f(1)-g(1)=1^3+1^2+1=3\dots \text{(1)}$

第二步：代入 $x=-1$ $f(-1)-g(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2+1=-1+1+1=1$ 由于 $f(x)$ 是偶函数，故 $f(-1)=f(1)$； 由于 $g(x)$ 是奇函数，故 $g(-1)=-g(1)$。 代入上式得： $f(1)-(-g(1))=1⟹f(1)+g(1)=1\dots \text{(2)}$

结论： 由方程 ② 直接可知 $f(1)+g(1)=1$。 （若需分别求解：联立 ①② 可得 $2f(1)=4⟹f(1)=2$，$2g(1)=-2⟹g(1)=-1$。则 $f(1)+g(1)=2+(-1)=1$。）

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性与代数式求值

2. 核心方法：令 $x=1$、$x=-1$ 建立关于 $f(1),g(1)$ 的方程组求解

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 奇偶函数的定义性质

2. 结论推广: 偶函数 $f(-x)=f(x)$，奇函数 $g(-x)=-g(x)$。

3. 方法推广: 可迁移到利用奇偶性求函数值类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性