2014-湖南卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题通过程序框图的形式考查分段函数的值域问题。解题关键在于准确识别程序中的条件判断及其对应的函数关系，并结合自变量的取值范围计算出输出结果的集合。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $t\in [-2,2]$，则输出的 $S$ 属于()

A. $[-6,-2]$　　　B. $[-5,-1]$　　　C. $[-4,5]$　　　D. $[-3,6]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析框图逻辑：
   • 输入 $t$ 后进行判断 $t<0$？
   • 若“是”（即 $t\in [-2,0)$），执行 $t=2t^2+1$，随后再次进行 $t<0$？判断。
   • 若“否”（即 $t\in [0,2]$），执行 $S=t-3$，随后输出 $S$ 并结束。
2. 分析循环与赋值：
   • 对于 $t\in [-2,0)$，计算 $t^{\prime }=2t^2+1$。由于 $t^2\in (0,4]$，则 $t^{\prime }\in (1,9]$。
   • 此时新值 $t^{\prime }$ 可知不满足 $t^{\prime }<0$，程序将走向“否”的分支。
   • 最终所有的输入路径都会汇聚到 $S=t_{final}-3$ 这一步。
3. 计算值域：
   • 分类讨论输入 $t$ 的初始区间，求出到达输出端时 $S$ 的取值范围，最后取并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图，输出 $S$ 的计算过程如下：

第一类情况：初始输入 $t\in [0,2]$ 此时判断 $t<0$ 为“否”，直接执行： $S=t-3$ 因为 $t\in [0,2]$，所以 $S\in [0-3,2-3]$，即 $S_1\in [-3,-1]$。

第二类情况：初始输入 $t\in [-2,0)$ 此时判断 $t<0$ 为“是”，执行： $t_{new}=2t^2+1$ 由于 $t\in [-2,0)$，则 $t^2\in (0,4]$，所以 $t_{new}\in (2(0)+1,2(4)+1]$，即 $t_{new}\in (1,9]$。 此时 $t_{new}>0$，再次进入判断框时结果为“否”，执行： $S=t_{new}-3$ 因为 $t_{new}\in (1,9]$，所以 $S\in (1-3,9-3]$，即 $S_2\in (-2,6]$。

综合结论： 输出 $S$ 的范围是上述两部分结果的并集： $S\in [-3,-1]\cup (-2,6]=[-3,6]$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图与分段函数值域

2. 核心方法：按 $t<0$ 是否成立分类，分别求 $S$ 范围取并集

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 程序框图条件判断与分段函数

2. 结论推广: 输出值域为各分支值域的并集。

3. 方法推广: 可迁移到程序框图求输出范围类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图