2014-湖南卷理-09 单-正弦函数的对称性

本题导读

本题考查定积分的计算与正弦函数性质的综合应用。首先通过定积分的运算求出相位参数 $\phi$ 的取值规律，再根据正弦函数对称轴的性质确定具体的直线方程。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (x-\phi )$，且 ${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}f(x)dx=0$，则函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴是()

A. $x=\frac{5\pi }{6}$　　　　B. $x=\frac{7\pi }{12}$　　　　C. $x=\frac{\pi }{3}$　　　　D. $x=\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用定积分建立方程：计算 ${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}\sin (x-\phi )dx$，利用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）求出原函数并代入上下限，令其等于 0。
2. 求解相位 $\phi$：化简所得方程，利用三角恒等变换（如和差化积或诱导公式）确定 $\phi$ 的一般形式。
3. 确定对称轴：正弦函数 $y=\sin (x-\phi )$ 的对称轴满足相位 $x-\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$，将求得的 $\phi$ 代入，验证选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算定积分 由 ${\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}\sin (x-\phi )dx=0$ 得： ${\left[-\cos (x-\phi )\right]}_0^{\frac{2\pi }{3}}=0$ $-\cos (\frac{2\pi }{3}-\phi )-(-\cos (0-\phi ))=0$ $\cos \phi -\cos (\frac{2\pi }{3}-\phi )=0$

第二步：化简三角方程 根据余弦差公式或和差化积公式： $-2\sin \frac{\phi +\frac{2\pi }{3}-\phi }{2}\sin \frac{\phi -(\frac{2\pi }{3}-\phi )}{2}=0$ $-2\sin \frac{\pi }{3}\sin (\phi -\frac{\pi }{3})=0$ 因为 $-2\sin \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}\ne 0$，所以： $\sin (\phi -\frac{\pi }{3})=0$ 得：$\phi -\frac{\pi }{3}=k_1\pi ⟹\phi =k_1\pi +\frac{\pi }{3}$ ($k_1\in \mathbb{Z}$)。

第三步：寻找对称轴 函数 $f(x)=\sin (x-\phi )$ 的对称轴方程为： $x-\phi =k_2\pi +\frac{\pi }{2}(k_2\in \mathbb{Z})$ 将 $\phi =k_1\pi +\frac{\pi }{3}$ 代入上式： $x-(k_1\pi +\frac{\pi }{3})=k_2\pi +\frac{\pi }{2}$ $x=(k_1+k_2)\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$ $x=k\pi +\frac{5\pi }{6}(k\in \mathbb{Z})$ 当 $k=0$ 时，$x=\frac{5\pi }{6}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分与正弦函数的对称性

2. 核心方法：由定积分为 0 解出 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{3}$，代入对称轴方程求 $x$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 定积分求相位与正弦对称轴

2. 结论推广: $y=\sin (x-\phi )$ 对称轴为 $x-\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

3. 方法推广: 可迁移到定积分与三角函数对称轴类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性